【JZOJ5813】【NOIP提高A组模拟2018.8.14】 计算（质因数分解+DP+思维）

Problem

Hint

Solution

• 这道题是妥妥的送了45points。因为100以内的数的约数个数均≤12，我们找出n的约数后，暴力dfs填数即可。时间复杂度O(σ(n)2m)$O(\sigma (n{)}^{2m})$ 。
• 不过，满分做法还是需要一点思维的。

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• 假设我们现在的x数列满足条件I（∀i∈[1,2m],xi∈Z+,xi|n$\mathrm{\forall }i\in [1,2m],x_i\in Z^{+},x_i|n$ ）。
• 令F(x)=∏2mi=1$F(x)=\prod _{i=1}^{2m}$ 。令s1表示F(x)<nm$F(x)<n^m$ 的方案数，s2表示F(x)=nm$F(x)=n^m$ 的方案数，s3表示F(x)>nm$F(x)>n^m$ 的方案数。
• 对于一组F(x)<nm$F(x)<n^m$ 的x，令x′=(nx1,nx2,...,nx2m),F(x′)=n2mF(x)>nm$x^{\prime }=(\frac{n}{x_1},\frac{n}{x_2},...,\frac{n}{x_{2m}}),F(x^{\prime })=\frac{n^{2m}}{F(x)}>n^m$ 。因此：
  s1=s3,s1+s2+s3=σ(n)2m,s1+s2=σ(n)2m+s22$$s1=s3,s1+s2+s3=\sigma (n{)}^{2m},s1+s2=\frac{\sigma (n{)}^{2m}+s2}{2}$$

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• σ(n)$\sigma (n)$ 是除数函数，这里表示的是n的约数个数。我们可以直接O(n−−√)$O(\sqrt{n})$ 找。
• 接下来，我们要求s2，即求有多少F(x)=nm$F(x)=n^m$ 。
• 将n分解质因数，对于每一个质因子p，其方案都是相对独立的。令ai表示xi中p的指数，w表示n中p的指数。
• 要求∑2mi=1ai=w∗m,0≤ai≤w$\sum _{i=1}^{2m}{a}_i=w\ast m,0\le a_i\le w$ 的方案数。

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• 设f[i][j]表示前i个数和为j的方案数。
• 转移显然。
• 我们算出每个质因子p的答案后，乘起来即是s2。

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• 时间复杂度：O(n−−√+log2 n∗m2)$O(\sqrt{n}+lo{g}_{2}n\ast m^2)$ 。

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define P(x,y) x=(x+y)%mo
#define T(x,y) x=(x*y)%mo
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
typedef long long ll;

const int M=201,S=20;
const ll mo=998244353;
int i,j,k,n,m,t,tmp,x,w;
ll ys,s2,f[M][S*M];

ll fpow(ll x,int y)
{
    ll ans=1;
    for(;y;y>>=1) 
    {
        if(y&1) T(ans,x);
        T(x,x);
    }
    return ans;
}

void work(int x)
{
    w=0;
    while(tmp%x==0) w++, tmp/=x;
    memset(f,0,sizeof f);
    f[0][0]=1;
    fo(i,1,m<<1)
        fo(j,0,w*m)
            fo(k,0,min(j,w))
                P(f[i][j],f[i-1][j-k]);
    T(s2,f[m<<1][w*m]);
}

int main()
{
    freopen("count.in","r",stdin);
    freopen("count.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&n,&m); t=sqrt(tmp=n);
    s2=1;
    fo(x,1,t)
        if(n%x==0)
        {
            ys+=1+(x*x<n);
            if(x>1&&tmp%x==0) work(x);
        }
    if(tmp>1) work(tmp);
    ys=fpow(ys,m<<1);
    printf("%lld",(ys+s2)*fpow(2,mo-2)%mo);
}