51nod 最小集合

最小集合

System Message (命題人)

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A君有一個集合。

這個集合有個神奇的性質。

若X,Y屬於該集合，那麼X與Y的最大公因數也屬於該集合。

但是他忘了這個集合中原先有哪些數字。

不過幸運的是，他記起了其中n個數字。

當然，或許會因爲過度緊張，他記起來的數字可能會重複。

他想還原原先的集合。

他知道這是不可能的……

現在他想知道的是，原先這個集合中至少存在多少數。

樣例解釋：

該集合中一定存在的是{1,2,3,4,6}

Input

第一行一個數n(1<=n<=100000)。
第二行n個數，ai(1<=ai<=1000000，1<=i<=n)。表示A君記起來的數字。
輸入的數字可能重複。

Output

輸出一行表示至少存在多少種不同的數字。

Input示例

5
1 3 4 6 6

Output示例

5

分析: 只想到和倍數有關，之後的就沒想出來，還是老老實實看題解吧

官方題解:

觀察題目性質。
性質1：該集合中一定存在輸入的數字中若干數的最大公因數。
這個證明比較簡單，例如我們有 a1, a2, ..., an 這些數，那麼 gcd(a1,a2) 一定存在該集合，然後 gcd(a1,a2,a3) 也一定存在該集合，依次類推。
所以我們對於每個數i，都求出在n個數中有多少數是它的倍數,記爲 f(i) 。
然後觀察 f(2× i), f(3× i), .., f(x× i), ... 中是否存在一個數等於 f(i) ，若不存在，則i一定存在於該集合。
總複雜度爲 maxni=1 ai× lg(maxni=1 ai) 。

#include <stdio.h>

const int N = 1000100;
bool vis[N];
int cnt[N];

int main()
{
    int n, x, limit = 0;
    scanf("%d", &n);
    
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        scanf("%d", &x);
        vis[x] = true;
        limit = limit < x ? x : limit;
    }
    
    for(int i = 1; i <= limit; i++)
        for(int j = i; j <= limit; j += i)
        {
            if(vis[j]) cnt[i]++;
        }
    
    int ans = 0;
    for(int i = 1; i <= limit; i++)
    {
        bool ok = true;
        if(cnt[i])
        {
            for(int j = i << 1; j <= limit; j += i)
            {
                if(cnt[j] == cnt[i])
                {
                    ok = false;
                    break;
                }
            }
        }
        else ok = false;
        if(ok) ans++;
    }
    
    printf("%d\n", ans);
    
    return 0;
}