同餘定理:兩個整數同時除以一個整數得到的餘數相同,則二整數同餘。記作a ≡ b(mod m)。
1. 同餘定理的加法乘法應用
- (a + b) % m = (a % m + b % m) % m
設 a = k1 * m + r1,b = k2 * m + r2
則 (a + b) % m = ((k1 * m + r1) + (k2 * m + r2)) % m
= ((k1 + k2) * m + (r1 + r2)) % m
= (r1 + r2) % m
= (a % m + b % m) % m
所以 (a + b) % m = (a % m + b % m) % m
- (a * b) % m = ((a % m) * (b % m)) % m
設 a = k1 * m + r1,b = k2 * m + r2
則 (a * b) % m = ((k1 * m + r1) * (k2 * m + r2)) % m
= (k1 * k2 * m^2 + (k1 * r2 + k2 * r1) * m + r1 * r2) % m
= (r1 * r2) % m
= ((a % m) * (b % m)) % m
所以 (a * b) % m = ((a % m) * (b % m)) % m
2. 高精度取模
- 高精度對單精度取模
一個高精度數對一個數取餘,可以把高精度數看成各位數的權值與個位數乘積的和。
比如1234 = ((1 * 10 + 2) * 10 + 3) * 10 + 4,對這個數進行取餘運算就是上面基本加和乘的應用。
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#include<iostream>
-
#include<string>
-
using namespace std;
-
int main(){
-
string a;
-
int b;
-
cin >> a >> b;
-
int len = a.length();
-
int ans = 0;
-
for(int i = 0; i < len; i++){
-
ans = (ans * 10 + a[i] - '0') % b;
-
}
-
cout << ans << endl;
-
return 0;
-
}
- 快速冪取模
將冪拆解爲多個底數的平方次的積,如果指數爲偶數,把指數除以2,並讓底數的平方次取餘,如果指數爲奇數,就把多出來的底數記錄下來,再執行偶數次的操作。
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#include<iostream>
-
using namespace std;
-
int PowerMod(int a, int b, int c){
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int ans = 1;
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a = a % c;
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while(b > 0){
-
if(b&1){
-
ans *= (a % c);
-
}
-
b >>= 1;
-
a = (a * a) % c;
-
}
-
ans %= c;
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return ans;
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}
-
int main(){
-
int a, b, c;
-
cin >> a >> b >> c;
-
cout << PowerMod(a, b, c) << endl;
-
return 0;
-
}