凸优化

仿射集

与仿射集相关联的子空间与v0的选取无关，为什么？这句话的几何意义是什么？
2个不同的点构成的点集，其仿射包是什么？3个不共线的点构成的点集，其仿射包是什么？…
两个集合{线性空间(及线性子空间）}与{仿射集}，哪个集合更大？
例2.1证明了线性方程组的解集是仿射集，反之，任意仿射集都可以表示为一个线性方程组的解集，请给出严格的证明。

从几何上看，子空间是一定包含零点的一个集合，V0只是确定了子空间与仿射集的距离，v0只要是C中的就可以了，并不影响子空间的确定。
直线，二维平面
仿射集大,{线性空间}包含于{仿射集}，线性空间一定是仿射集，反之不一定。并且线性空间一定经过原点，仿射集不一定。
设C是非零仿射集，V是C对应的子空间， $T=V^+\ e_1,e_2,\cdots,e_m$ ,为T的基向量。
任意y属于V，都有 ${e_1}^Ty=0,{e_2}^Ty=0\cdots{e_m}^Ty=0$ ,设 $A=[e_1,e_2,\cdots,e_m]^T$ ,A是 $m\times n$ 矩阵。所以Ay=0。
又因为V=C-a，所以任意x属于C，x=y+a
$Ax=Ay+Aa=Aa=b$ ,证明成立
当C是空集时，不存在x，使得Ax=b，满足题意。

凸集

想想凸集的本质是什么，与仿射集有什么不同？
书上的习题2.1、2.4建议做一下

2.4表明，任给一个集合，能够包住它的凸集有无数个，但是其中最小的是它的凸包，而这个凸包，正好是所有包住这个集合的凸集的公共部分

总结一下：不考虑空集、单点集这些意义不大的玩意。
1、仿射集是那些平直的，没有方向限制可无限延伸的东西，例如直线、平面、…、高维超平面。它们的本质特征就是在其中取两个不同的点画直线，跑不出去
2、凸集就是向外鼓起的东西，例如球、长方体、…、高维空间中的超球，其本质特征是在其中任取两个点连线段，跑不出去
3、锥是从原点出发向一个方向平直无限延伸的东西，例如顶点在原点的圆锥。其本质特征是从原点出发过其中任意一点连射线，跑不出去。从原点出发的两条不同的射线是锥，两个共原点的不同的圆锥也是锥
4、仿射集一定是凸集
5、凸锥就是凸的锥，也就是说既是锥也是凸集。从原点出发的两条不同的射线是锥，但不是凸锥

一个目标函数定义在某个集合（可行解集合）上，优化问题就是从这个集合中找出使目标函数最优（例如达到最小值）的那个解。一般而言，优化问题并不容易求解，但是如果目标函数是凸函数，可行解集合是凸集，那么就有解决问题的方法，这就是凸优化要研究的内容

超平面

思考几个问题：

超平面的“维数”是多少？超平面方程中b有什么含义？
单纯性一定是多面体，试着给出严格的证明。
看一下附录a中的范数概念，然后思考在二维和三维空间中，1范数球、2范数球、∞ 范数球的形状；1范数锥、2范数锥、∞ 范数锥的形状。

关于超平面的“维数”：在R^n中，超平面a’x=b是仿射集（所以也是凸集），它的维数就是与之相关的子空间的维数，所以维数是n-1。这个子空间的正交补是1维的，超平面的法向量a就是正交补空间的一个基
维数是线性空间中极大线性无关组的向量个数，或者说是基向量的个数。超平面，一般不是线性空间，所以严格来说没有基，也就没有维数。但是超平面是仿射集，所以它有对应的线性子空间，这个线性子空间的维数就定义为超平面的维数。而这个线性子空间正是其法向量张成的一维空间的正交补空间，所以它的维数是n-1
超平面方程中b的意义：超平面方程是a’x=b，x是超平面上的任意一点，所以常数b是超平面上任何一点与法向量a的内积
那么，原点到超平面的距离是多少呢？就是x在a上的投影长度，所以是|b|/||a||
范数球二维空间
- 范数球三维空间
范数锥二维空间
范数锥三维空间
三维情况下，2范数锥的方程是sqrt(x^2+y2)=z
1范数锥的方程是|x|+|y|=z，∞范数锥的方程是max(|x|+|y|)=z。
注意观察范数锥在三维空间中的形状，从上到下的投影与范数球在二维空间中的形状一致。锥只是比球多了一个变量，随着Z的增大，就得到了三维图形。