基礎數論複習筆記

歐幾里得

gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

拓展歐幾里得

$a*x_0+b*y_0=gcd(a,b)$

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y) {
    if(b==0) {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    int x2,y2;
    int ret=exgcd(b,a%b,x2,y2);
    x=y2;
    y=x2-(a/b)*y2;
    return ret;
}

$gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)$

$\Rightarrow$$a·x1+b·y1=b·x2+(a\%b)·y2$

$\Rightarrow$$a·x1+b·y1=b·x2+(a-\left\lfloor\dfrac{a}{b}\right\rfloor ·b)·y2$

$\Rightarrow$$a·x1+b·y1=a·y2+b·(x2-\left\lfloor\dfrac{a}{b}\right\rfloor·y2)$

$\Rightarrow$$x1=y2,y1=x2-\left\lfloor\dfrac{a}{b}\right\rfloor·y2$

$x'=x0+\dfrac{b}{gcd}k$ $,$ $y'=y0-\dfrac{a}{gcd}k$

應用

1.解方程
2.求逆元
$a·x≡1(mod\ \ p) \\ a·x-p·k=1$
將$p$視作$b$，$-k$視作$y$
$\Rightarrow a·x+b·y=1$
解出$x0$用$x'=x0+p·h$求出合適的解

int INV(int a,int p) {
    int x,y;
    exgcd(a,p,x,y);
    x=(x%p+p)%p;
    return x;
}

數論四大定理

費馬小定理

$p$爲素數，$gcd(a,p)=1,$則$a^{p-1}≡1(mod\ \ p)$

應用

快速冪求逆元
由上$a^{p-1}≡1(mod\ \ p)$
$\Rightarrow a·a^{p-2}≡1(mod\ \ p)$
$\Rightarrow a^{-1}≡a^{p-2}(mod\ \ p)$

int mod;
LL Pow(int a,int k) {
    LL base=a,ret=1;
    while(k) {
        if(k%2)
            ret=(LL)(base*ret)%mod;
        base=(LL)(base*base)%mod;
        k/=2;
    }
    return ret;
}
LL INV(int a,int b) {
    mod=b;
    return Pow(a,b-2);
}

歐拉定理

是費馬小定理的一般化，等考完還有想法再補補故事
$gcd(a,p)=1$，則$a^{φ(p)}≡1(mod\ \ p)$
當$p$爲素數，$φ(p)=p-1$,就成了費馬小定理

威爾遜定理

$(p−1)!\ ≡−1 (mod \ \ p)$ $\Leftrightarrow$$p$爲素數
一般沒什麼用吧

中國剩餘定理

爲了區分

孫子定理

$\begin{cases}\\ x≡a_1(mod \ \ m_1)\\ x≡a_2(mod \ \ m_2)\\ x≡a_3(mod \ \ m_3)\\ ……\\ x≡a_n(mod \ \ m_n) \end{cases}$
其中$m_i$兩兩互質，求$x$的解

使用構造法，令$M=Πm_i$
求得$t_i≡{\left(\dfrac{M}{m_i}\right)}^{-1} (mod \ \ m_i)$
特解爲$x_0=∑a_i·t_i·\left(\dfrac{M}{m_i}\right)$
通解爲$x'=x_0+k·M$

LL Exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){
	if(!b){x=1,y=0;return a;}
	LL g=Exgcd(b,a%b,y,x);
	y-=(a/b)*x;
	return g;
}
int n;
LL a[MAXN+5],m[MAXN+5];
LL Mul(LL x,LL y,LL p){
	if(y<0) x=-x,y=-y;
	LL ret=0;
	while(y){
		if(y&1) ret=(ret+x)%p;
		x=(x<<1)%p,y>>=1;
	}
	return ret;
}
LL ExCRT(){
	LL M=m[1],x0=a[1],x,y,tmp;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		LL g=Exgcd(M,m[i],x,y);
		if((a[i]-x0)%g) return -1;
		tmp=m[i]/g,x=Mul(x,(a[i]-x0)/g,tmp),x=(x+tmp)%tmp;
		x0+=M*x,M=M/g*m[i],x0%=M;
	}
	return x0;
}

該部分感謝LSK大佬
證明就把每一個對應部分分出來就行了，易知這是最小單位。

拓展中國剩餘定理

$\begin{cases}\\ x≡a_1(mod \ \ m_1)\\ x≡a_2(mod \ \ m_2)\\ x≡a_3(mod \ \ m_3)\\ ……\\ x≡a_n(mod \ \ m_n) \end{cases}$
不滿足$m_i$兩兩互質，求$x$的解
使用逐個求解併合並的方法。

假設我們已經得到了一組特解$x_0$，如何得到一般解呢？
類比上文的孫子定理容易得到$x'=x_0+k·lcm(m1,m2.....m_n)$

一個一個的向下解
令$M_i=lcm(m_1,m_2......m_i)$
假如已經得到了前$i$個方程的解$x=x_0+k·M_i\Leftrightarrow x≡x_0(mod\ \ M_i)$
現在解第$i+1$個方程，也就是再去求一組特解。
可以將問題簡化爲
$\begin{cases} x≡x_0(mod\ \ M_i)\\ x≡a_{i+1}(mod\ \ m_{i+1}) \end{cases}$
可以寫成

$\begin{cases} x=x_0+k_1·M_i\\ x=a_i+k_2·m_{i+1} \end{cases}\\ \Rightarrow x_0+k_1·M_i=a_i+k_2·m_{i+1}\\ \Rightarrow x_0-a_i=-k_1·M_i+k_2·m_{i+1}$
因爲$k1$的正負不重要
$x_0-a_i=k_1·M_i+k_2·m_{i+1}$
直接用拓歐解出一組$k_1,k_2$代入方程再更新$M_i$一直到最後就求出了方程的解。
中途用拓歐解方程時，若$gcd(M_i,m_{i+1})\nmid{x0-a_i}$則無解

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN=int(1e5+5);
int n,M=1,x0=0;
int a[MAXN],m[MAXN];
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y) {
    if(b==0) {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    int x2,y2;
    int ret=exgcd(b,a%b,x2,y2);
    x=y2;
    y=x2-(a/b)*y2;
    return ret;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d%d",&m[i],&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        int x,y;
        int G=exgcd(M,m[i],x,y);
        if((x0-a[i])%G) {
            puts("No solution");
            return 0;
        }
        x*=(x0-a[i])/G,y*=(x0-a[i])/G;
        x0=a[i]+y*m[i];
        M=M/G*m[i];
        x0=((x0%M)+M)%M;
    }
    printf("%d",x0);
}

逆元

拓歐求逆元

見上

費馬小定理求逆元

見上

線性篩逆元

法1：求階乘逆元反解（見下）
$n!^{-1}=(n-1)!^{-1}·n^{-1}$
$\Rightarrow n^{-1}=n!^{-1}·((n-1)!^{-1})^{-1}=n!^{-1}·(n-1)!$

int Pow(int a,int k) {
    int base=a,ret=1;
    while(k) {
        if(k%2)
            ret=((LL)ret*base)%p;
        base=((LL)base*base)%p;
        k/=2;
    }
    return ret;
}
void Prepare() {
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        fac[i]=((LL)fac[i-1]*i)%p;
    inv1[n]=Pow(fac[n],p-2);
    for(int i=n;i>=1;i--)
        inv1[i-1]=((LL)inv1[i]*i)%p;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        inv2[i]=((LL)inv1[i]*fac[i-1])%p;
}

法2：真正的線性篩逆元
若$p=k·i+d$其中$d=p\%i$
那麼$k·i+d≡0(mod\ \ p)$
$\Rightarrow -k·i≡d$
$\Rightarrow -k·i·i^{-1}·d^{-1}≡d·i^{-1}·d^{-1}$
$\Rightarrow i^{-1}≡-k·d^{-1}$
$\Rightarrow i^{-1}=(p-k)·d^{-1}$

void Prepare() {
    inv[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
        inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;
}

線性篩階乘逆元

用定義理解，先求出${(p-1)!}^{-1}$（可先求階乘，或直接用威爾遜定理）
$p$是素數，$(p-1)!≡-1（mod\ \ p)$
那麼${(p-1)!}^{-1}=(p-1)^{-1}$直接快速冪。
或者直接算出$(p-1)!$反正都要算。
逆元滿足結合律即$a^{-1}·b^{-1}=(ab)^{-1}$
那麼$inv[n]=inv[n-1]·n^{-1}$
$\Rightarrow inv[n]·n=inv[n-1]·n^{-1}·n=inv[n-1]$

void Prepare() {
    inv[p-1]=Pow(p-1,p-2);
    for(int i=p;i>=1;i--)
        inv[i-1]=inv[i]*i%p;
}

當然也是可以先求出線性逆元再用線性逆元求出來。

計數部分

組合數線性求法

$C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)$

void Prepare() {
    C[0][0]=C[1][0]=C[1][1]=1;
    for(int i=1;i<=MAXN;i++)
        for(int j=1;j<=i;j++)
            C[i][j]=C[i-1][j]+C[i-1][j-1];
}

Lucas定理

$C(n,m)\%p=C(n/p,m/p)·C(n\%p,m\%p)\%p$
可寫爲$Lucas(n,m)\%p=Lucas(n/p,m/p)*C(n\%p,m\%p)\%p$
1.當$p$較小
預處理組合數，直接遞歸到已處理的數

void Prepare() {
    C[0][0]=C[1][0]=C[1][1]=1;
    for(int i=1;i<=MAXN;i++)
        for(int j=1;j<=i;j++)
            C[i][j]=C[i-1][j]+C[i-1][j-1];
}
int Lucas(int n,int m) {
    if(n<p&&m<p)
        return C[n][m];
    return Lucas(n/p,m/p)*Lucas(n%p,m%p)%p;
}

3.當$p$較大
預處理階乘和階乘的逆元（見上），對小的部分直接算，大的部分繼續遞歸處理

void Prepare() {
    inv[p-1]=Pow(p-1,p-2);
    for(int i=p-1;i>=1;i--)
        inv[i-1]=inv[i]*i%p;
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<=p;i++)
        fac[i]=fac[i-1]*i%p;
}
int C(int n,int m) {
    if(n<m)
        return 0;
    return ((fac[n]*inv[m])%p*inv[n-m])%p;
}
int Lucas(int n,int m) {
    if(n<p&&m<p)
        return C(n,m);
    return Lucas(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p;
}

卡特蘭數

組合意義（經典例子）：
1.括號匹配（$n$對括號的合法匹配數）
2.走地圖（從$(0,0)$走到$(n,n)$並且不越過$y=x$的方案數）
公式:$h(n)=\dfrac{C(2n,n)}{n+1}$
推導：在一個$(n,n)$的地圖裏，從$(0,0)$走到$(n,n)$的方案數爲$C(2n,n)$
要求不越過$y=x$，那麼求越過的取反。
越過的就是一定經過$y=x+1$的
觀察到這樣的走法等價於從$(-1,1)$走到$(n,n)$的方案數（將地圖外的部分沿$y=x+1$翻折回來）。
圖示