互素數不能表出的最大數(源自動態規劃題：麥香牛塊)

原題如下：

農夫布朗的奶牛們正在進行鬥爭，因爲它們聽說麥當勞正在考慮引進一種新產品：麥香牛塊。奶牛們正在想盡一切辦法讓這種可怕的設想泡湯。奶牛們進行鬥爭的策略之一是“劣質的包裝”。“看”，奶牛們說，“如果你用只有一次能裝3塊、6塊或10塊的三種包裝盒裝麥香牛塊，你就不可能滿足想要一次只想買1、2、4、5、7、8、11、14或17塊麥香牛塊的顧客了。劣質的包裝意味着劣質的產品。”

你的任務是幫助這些奶牛。給出包裝盒的種類數N（1<=N<=10）和N個代表不同種類包裝盒容納麥香牛塊個數的正整數i（1<=i<=256），輸出顧客不能用上述包裝盒（每種盒子數量無限）買到麥香牛塊的最大塊數。如果在限定範圍內所有購買方案都能得到滿足，則輸出0。範圍限制是所有不超過2000000000的正整數。

 

由於數目非常龐大，不能簡單進行動態規劃，必須先進行數學分析縮小範圍。此題進行數學抽象，給定n個正整數{an}，於是有集合S={a₁*x₁+a₂*x₂+...+a_n*x_n，x_i屬於N}，求集合N-S 的屬性，以下先從n=2 開始闡述。

 

引理1：S={a*x + b*y, x,y屬於自然數N}，當a、b 互素時，N-S爲有限集，其最大值爲 a*b-a-b；當a、b不互素時(a,b最大公約數大於1)，則N-S 爲無限集

 

證明：

(1) 當a、b不互素時(a,b最大公約數大於1)，則N-S 爲無限集

這個比較好證明，設p=gcd(a,b)，則a*x+b*y必定可以寫成 p*z 的形式，由於p>1，則p* z + 1必定不屬於S，於是N-S 爲無限集

 

(2) 當a、b互素時，則N-S 爲有限集，且最大值爲a*b-a-b

首先證明 a*b-a-b 不屬於S，使用反證法，

a*b-a-b = a*x + b*y  => a*(b-1-x) = b*(1+y)，由於 a、b互素，則有b-1-x>=b，這與定義矛盾，於是有a*b-a-b 必定不屬於S

 

然後證明任何一個數z > a*b-a-b，均能表示爲a*x + b*y(x,y屬於N)，令z=a*b-a-b+i，因爲a、b互素，則i=a*m+b*n(m,n屬於整數，不是自然數)，於是z=a*(b-1+m) + b*(n-1)，當m、n均不爲負數時，z均可以表示爲a*x+b*y的形式，下面證明m、n有一個爲負數時的情況。

不失一般性，設i=a*x-b*y(x,y屬於N)，我們可以做一個變換，確保y<=a-1，當y>=a時，設y=a*r+s(s<=a-1)，則有i=a*x-b*(a*r+s) =a(x-br)-bs，即i表示爲a*x-b*y時，可以確保y<=a-1，此時必有x>=1。

z=a*b-a-b+a*x-b*y = a(x-1) + b(a-1-y)，由於 x>=1，y<=a-1，所以z可以表示，命題得證。

此命題表明S 包含大於等於ab-a-b+1的所有整數

 

引理2：S={a*x + b*y + c*z, x,y,z屬於自然數N}，當a、b、c互素時，N-S爲有限集，其最大值不大於MAX(ab,ac,bc)

 

證明

如果其中有兩個元素互素，比如gcd(a,b)=1，則由引理1得到N-S爲有限集，其最大值必定不大於ab-a-b，即不大於MAX(ab,ac,bc)

 

假設任意兩個元素均不互素，不失一般性，令ab=MAX(ab,ac,bc)，p=gcd(a,b)，於是有a*x+b*y+c*z=p*(a1*x+b1*y) + c*z，其中p和z互素，a1和b1互素，將a1*x+b1*y看作一個元素，運用引理1得到 N-S 的最大值爲pc-p-c，但由於a1*x+b1*y從a1b1-a1-b1之後纔開始連續，所以N-S的最大值必定小於pc-p-c+ p(a1b1-a1-b1) < pc + ab/p

只要證明pc + ab/p <ab即可，因爲p>=2則ab/p<=ab/2，因爲p<=a/2，c<b，則pc<ab/2，於是命題得證。

引理2的證明給我們提供瞭解決原問題的思路

 

 

定理：S={a₁*x₁+a₂*x₂+...+a_n*x_n，x_i屬於N}，當a_1i,a₂,...,a_n互素時，N-S的最大值小於MAX(a_i) * MAX(a_i)

 

使用數學歸納法證明，n=2,3時已經證明，假設n-1時已經證明，以下證明n時

如果其中有n-1個互素，則問題直接得證，即以下的證明爲任意n-1個元素不互素的情況。不失一般性，假設n個數中a₁和a₂爲最大的兩個數，設p=gcd(a₁,a₂,...,a_n-1)

a₁*x₁+a₂*x₂+...+a_n*x_n= p(a’₁*x₁+...+a’_n-1*x_n-1) + a_n*x_n

根據歸納假設a’₁*x₁+...+a’_n-1*x_n-1至少從a’₁a’₂ 開始連續，且運用引理1，可以得到N-S最大值小於p a_n -p- a_n  +p(a’₁ a’₂) < p a_n + (a₁ a₂)/2，利用與引理2相同的證明方法可以得到N-S的最大值小於a₁a₂

根據此定理，可以將原麥香牛塊問題的範圍限制到256*256之中，再使用動態規劃求解就可行了。