n個點的簡單無向圖沒有長度爲3的環，求其最大的邊數

原題描述：在一個未來的空中都市中，有很多個小島（城區）。現在要求在這些島之間架一些橋樑（橋是架在兩個島中間的）。要求：首先，如果A與B中間有橋，B與C之間有橋，則A與C之間就不能再架橋了，即對於城市中的任意三個島，不能在其中兩兩都架上橋。在這樣的前提下，要求架的橋數最多，並計算其中的一個可行方案。

 

此題在網上可以搜索到答案，橋數最多時爲二分圖。但沒有給出有力的證明。以下簡要證明之。

 

引理：n個頂點的圖G=(V,E)，假設其頂點的最大度數爲m，則邊數最多爲m*(n-m)

 

證明：

取出最大度數的頂點v₀，由於v₀的度數爲m，則v₀有m個鄰接點，設爲X={u₁，u₂，...，u_m}，而且圖G沒有長度爲3的環，則這m個鄰接點互不連接。

將G中的頂點V分成兩個部分，X和 V-X，考慮V-S中的所有頂點，任取一個點v₁，由於v₁的度數不大於m，則將v₁的邊全部移動到X上來，這個操作是可行的，因爲X有m個頂點，而v₁最多隻有m條邊，此時v₁必定和v₀不相鄰，注意移動之後圖G的邊數和點數都沒有改變。循環處理V-S的所有頂點，如此使用圖G分成了兩個部分X和X-S，即是一個二分圖，二分圖邊數最多時爲完全二分圖，即邊數最多爲m*(n-m)

 

當m=floor(n/2)時，m*(n-m)最大，所以對於n個頂點的圖G，n爲偶數時邊數最多爲(n/2)*(n/2)，n爲奇數時邊數最多爲(n-1)/2* (n+1)/2