最近在學習Jerasure，對其中涉及到的一些算法中涉及到的數學概念梳理如下。
簡而言之，羣的概念可以理解爲：一個集合以及定義在這個集合上的二元運算，滿足羣的四條公理，封閉性、結合性、單位元、反元素。具體理解爲：
封閉性：在集合上作任意二元運算，不會誕生新的運算，這個集合已經經過充分的完美拓撲。
結合性：組合一個二元操作鏈，之間沒有先後運算的區別，這種操作是平坦的（區別交換律）。
單位元：具有單位的屬性，單位元和任何一個元素操作等於那個元素本身。
反元素：集合中任何一個元素，存在一個稱爲反元素的元素與那個元素進行操作後，最後的結果爲單位元。
簡而言之，可交換羣就是在滿足羣的”四公理“的基礎上在加上一個可交換的屬性，可把滿足可交換的操作滿足對稱性。
簡而言之，環是細化的羣，一個環中涉及兩個二元運算，分別是(R,+)與(R, ·)，前者是個可交換羣，後者是一個半羣。半羣可理解爲僅僅滿足封閉性以及結合律的羣，則忽略了單位元與反元素的限制。似乎可以想象，如果一個羣爲以單元爲中點的對稱分佈，則半羣爲羣的單位元劈開的兩瓣之一，所以稱之爲半羣。
域的概念較爲複雜，環的概念僅僅定義了兩個運算，唯一的條件是，乘法關於加法滿足可分配律。而進入到域的概念，則對這兩個二元操作，強加了更多的限制。上面第一種定義很有趣，進入了除環的概念。在除環的基礎上，額外加了一個可交換的限制條件。
從域過度到伽羅瓦域較爲簡單，僅僅額外的加了一個限制：有限個元素。
從羣到環，再到域，是一個條件逐漸收斂的過程，條件的收斂，也帶來對更小數學集合上更豐富的特性。
細化到伽羅瓦域，這些更豐富的特性，爲後來EC碼的誕生奠定了數學基礎，具有工程上的可實現性。
