UVA 12716 GCD XOR 【數論】【素數】【暴力枚舉】

題目大意

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輸入整數n，有多少對整數（a,b）滿足：1<=b<=a<=n，且gcd(a,b)=aXORb$gcd(a,b)=aXORb$ 。

例如：
n=7，有4對：

(3,2)
(5,4)
(6,4)
(7,6)

思路

要滿足的條件爲：gcd(a,b)=aXORb$gcd(a,b)=aXORb$

• 設gcd(a,b)=c$gcd(a,b)=c$ 則，a是c的倍數。
• c=aXORb$c=aXORb$ 則 b=aXORc$b=aXORc$ 。

枚舉a和c，因爲a是c的倍數。複雜度是O(nlog(n))$O(nlog(n))$

然後算出b=aXORc，最後驗證是否有gcd(a,b)=c$gcd(a,b)=c$ 複雜度爲O(logn)$O(logn)$

總體複雜度爲O(n(logn)2)$O(n(logn{)}^2)$

通過答案得到c = a-b
證明如下：
- 通過gcd性質：a-b >= c
- 通過XOR性質：a-b <= a xor b

可得到c=a-b.

# Hit

若a xor b = c
則a xor c = b
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