我在做大渦模擬（LES）的時候，需要繪製各向同性湍流的三維能譜，並且對高波數的成分進行濾波。
就在我比較採用不同形式的卷積核進行濾波，對能譜的影響的時候，我正想把盒子濾波（heaviside函數）的Fourier轉化後的形式運用到譜空間。但是我發現，sagaut中的公式是不可以直接拿來用的，需要對卷積核的寬度進行一些修正，我不斷調整核寬度的大小，然後與標準答案對比了一下，發現係數正好相差一個
總的來說，就是歸因於Fourier變換的形式不統一，即matlab的fft變換的形式與sagaut的連續傅里葉變換形式的不統一。
兩種Fourier變換
一本參考書中的Fourier變換
Pope在《turbulent flow》的Appendix D中，對Fourier變換的定義如下：
其逆變換如下：
採用以上Fourier變換的定義時，Heaviside函數的Fourier變換如下：
某語言的FFT幫助函數中定義的離散傅里葉變換
而matlab 中fft(X)函數關於Fourier變換及其逆變換的定義如下：
![g(k)=\mathcal{F}_M\{f(n)\}=\sum_{n=1}^N f(n) e^{-j2\pi k n/N},k \in [1,N],](https://pic1.xuehuaimg.com/proxy/csdn/https://private.codecogs.com/gif.latex?g%28k%29%3D%5Cmathcal%7BF%7D_M%5C%7Bf%28n%29%5C%7D%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5EN%20f%28n%29%20e%5E%7B-j2%5Cpi%20k%20n/N%7D%2Ck%20%5Cin%20%5B1%2CN%5D%2C)
![f(n)=\mathcal{F}^{-1}_M\{g(k)\}=\frac{1}{N} \sum_{k=1}^N g(k)e^{j2\pi k n/N}, n \in [1,N].](https://pic1.xuehuaimg.com/proxy/csdn/https://private.codecogs.com/gif.latex?f%28n%29%3D%5Cmathcal%7BF%7D%5E%7B-1%7D_M%5C%7Bg%28k%29%5C%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BN%7D%20%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5EN%20g%28k%29e%5E%7Bj2%5Cpi%20k%20n/N%7D%2C%20n%20%5Cin%20%5B1%2CN%5D.)
有兩點需要注意的是
- 爲了比較的方便，我把指數上的(k-1)*(n-1)替換成了kn,僅僅是爲了這個問題的討論方便。
- 爲了方便區分，我在前一種定義下采用自變量
與
，Fourier變換採用
表示，後一種定義採用自變量
與自變量
,Fourier變換採用
表示。
與
，Fourier變換採用
表示，後一種定義採用自變量
與自變量
,Fourier變換採用
表示。如何將前者定義下的Fourier變換對應用到matlab中？
現在需要討論的就是如何進行
從指數函數的指數來看，兩者的指數是肯定相同的，如果假設
![{\color{Red} t=n, n\in [1,N]}](https://pic1.xuehuaimg.com/proxy/csdn/https://private.codecogs.com/gif.latex?%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20t%3Dn%2C%20n%5Cin%20%5B1%2CN%5D%7D)
的話，很明顯有
![{\color{Red} \omega =2 \pi k/N, k \in [1,N]}](https://pic1.xuehuaimg.com/proxy/csdn/https://private.codecogs.com/gif.latex?%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%5Comega%20%3D2%20%5Cpi%20k/N%2C%20k%20%5Cin%20%5B1%2CN%5D%7D)
因此本文章的主要結論就講完了，突然覺得有點簡單。恩，下面是一些補充。
那麼在matlab函數中，heviside函數的Fourier變換的形式是怎樣的？
下面這個就是推導。
![{\color{Red} \mathcal{F}_M\{H(b-\mid n\mid)\} =\sum_{n=1}^N f(n) e^{-j2\pi k n/N}=2\pi (\frac{1}{2\pi}\sum_{n=1}^N f(n) e^{-j(2\pi k/N) n})\\ =2 \pi \mathcal{F}p\{ H(b-\mid n\mid)\} =2 \pi \frac{\text{sin}(k \omega)}{\pi \omega}=\frac{\text{sin}( 2 \pi bk/N)}{ \pi k/N}, where \; k,n \in [1,N]. }](https://pic1.xuehuaimg.com/proxy/csdn/https://private.codecogs.com/gif.latex?%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%5Cmathcal%7BF%7D_M%5C%7BH%28b-%5Cmid%20n%5Cmid%29%5C%7D%20%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5EN%20f%28n%29%20e%5E%7B-j2%5Cpi%20k%20n/N%7D%3D2%5Cpi%20%28%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi%7D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5EN%20f%28n%29%20e%5E%7B-j%282%5Cpi%20k/N%29%20n%7D%29%5C%5C%20%3D2%20%5Cpi%20%5Cmathcal%7BF%7Dp%5C%7B%20H%28b-%5Cmid%20n%5Cmid%29%5C%7D%20%3D2%20%5Cpi%20%5Cfrac%7B%5Ctext%7Bsin%7D%28k%20%5Comega%29%7D%7B%5Cpi%20%5Comega%7D%3D%5Cfrac%7B%5Ctext%7Bsin%7D%28%202%20%5Cpi%20bk/N%29%7D%7B%20%5Cpi%20k/N%7D%2C%20where%20%5C%3B%20k%2Cn%20%5Cin%20%5B1%2CN%5D.%20%7D)
紅色爲主要結論。
注意：本文章不討論連續Fourier變換與離散Fourier變換之間的關係，我默認兩者是近似相等的，即積分號可以變成求和。
一個用於驗證的一維Fourier變換算例
在這個算例中，我採用matlab自帶的fft函數對b=5的heaviside函數進行Fourier變換，然後將其高波數成分重疊到低波數成分（因爲奈奎斯特採樣與奈奎斯特頻率）。
關於實數函數的Fourier分解的係數的模
由於變換之後是一個複數向量，但是連續Fourier變換的理論分析結果是一個實數函數，我猜測這是因爲離散Fourier函數忽略了高波數成分。
於是我就想將複數向量的模與連續Fourier變換的結果係數的模進行比較。
關於模，有以下推導及定義。
假設有一個函數
由於我們不關心相位，平均值之類的東西，所以我們可以簡單的取其平均值爲0，即
將其餘成分按照sin與cos進行拆分組合如下：
![u(t) &= \sum_{k=1}^\infty[(a_k+a_{-k})+j(b_k+b_{-k})]\text{cos}(\omega_k t)\\ &+\sum_{k=1}^\infty[j(a_k-a_{-k})+(b_k-b_{-k})]\text{sin}(\omega_k t)](https://pic1.xuehuaimg.com/proxy/csdn/https://private.codecogs.com/gif.latex?u%28t%29%20%26%3D%20%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%5Cinfty%5B%28a_k+a_%7B-k%7D%29+j%28b_k+b_%7B-k%7D%29%5D%5Ctext%7Bcos%7D%28%5Comega_k%20t%29%5C%5C%20%26+%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Bj%28a_k-a_%7B-k%7D%29+%28b_k-b_%7B-k%7D%29%5D%5Ctext%7Bsin%7D%28%5Comega_k%20t%29)
我們只討論
於是通過簡單的變換，我們就可以進行以下簡化，
![u(t) &= 2\sum_{k=1}^\infty [a_k\text{cos}(\omega_k t)-b_{k}\text{sin}(\omega_k t)]\\ &=2\sum_{k=1}^\infty \mid c_k \mid \text{cos}(\omega_k t+ \theta_k)](https://pic1.xuehuaimg.com/proxy/csdn/https://private.codecogs.com/gif.latex?u%28t%29%20%26%3D%202%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%5Cinfty%20%5Ba_k%5Ctext%7Bcos%7D%28%5Comega_k%20t%29-b_%7Bk%7D%5Ctext%7Bsin%7D%28%5Comega_k%20t%29%5D%5C%5C%20%26%3D2%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%5Cinfty%20%5Cmid%20c_k%20%5Cmid%20%5Ctext%7Bcos%7D%28%5Comega_k%20t+%20%5Ctheta_k%29)
其中，
通過這一段的分析，我想要說明，Fourier變換之後的函數的模與其波數仍然是具有一一對應的關係，不會因爲取模之後，某一個波數的對應值就會對其他的波數造成影響。因此，通過比較模來比較兩種Fourier變換定義下的變換結果是有意義的。
計算結果
因爲連續Fourier變換隻有實數成分，所以只需要取其絕對值就好，但是又因爲fft的結果高於奈奎斯特採樣頻率的部分被重疊到了低波數成分，所以連續Fourier變換的結果取絕對值之後還要乘以2。與此章的上一節分析有異曲同工之妙。
現實空間的heaviside函數的圖像如下所示。
譜空間的模關於波數的函數如下所示。
從圖中可以看出，兩者結果是很相近的，唯一的區別是，在較高的波數時，fft結果模偏大，猜測這可能是因爲fft只能對有限波數進行計算，並不能在無限域中進行Fourier變換，所以更高波數的影響被累積到這些波數中。
兩者進行比較的代碼如下：
clc;clear;close all;
N=128;
n=1:N;
b=5;
%生成heaviside函數
data=(n<=(10+2*b-1)) & (n>=(10));
data_fft=fft(data);
figure;plot(data,'.-')
xlabel('n')
ylabel(strcat('heaviside (b=',num2str(b),')'))
saveas(gcf,'test_real.eps')
%fft變換後的波數摺疊
data_fft=[2*data_fft(2:(N/2)) data_fft(N/2+1)];
%求fft的模
data_mod=sqrt(data_fft.*conj(data_fft));
figure;plot(data_mod,'b+-')
k=1:(N/2);
% b=5;
y=sin(2*pi*b*k/N)./(pi*k/N);
%求模與摺疊
y=2*abs(y);
hold on;plot(k,y,'ro-')
xlabel('wave number k')
ylabel('|c_n|')
legend('fft results','theoretical results')
saveas(gcf,'test_fourier.eps')
