我在做大涡模拟（LES）的时候，需要绘制各向同性湍流的三维能谱，并且对高波数的成分进行滤波。
就在我比较采用不同形式的卷积核进行滤波，对能谱的影响的时候，我正想把盒子滤波（heaviside函数）的Fourier转化后的形式运用到谱空间。但是我发现，sagaut中的公式是不可以直接拿来用的，需要对卷积核的宽度进行一些修正，我不断调整核宽度的大小，然后与标准答案对比了一下，发现系数正好相差一个
总的来说，就是归因于Fourier变换的形式不统一，即matlab的fft变换的形式与sagaut的连续傅里叶变换形式的不统一。
两种Fourier变换
一本参考书中的Fourier变换
Pope在《turbulent flow》的Appendix D中，对Fourier变换的定义如下：
其逆变换如下：
采用以上Fourier变换的定义时，Heaviside函数的Fourier变换如下：
某语言的FFT帮助函数中定义的离散傅里叶变换
而matlab 中fft(X)函数关于Fourier变换及其逆变换的定义如下：
![g(k)=\mathcal{F}_M\{f(n)\}=\sum_{n=1}^N f(n) e^{-j2\pi k n/N},k \in [1,N],](https://pic1.xuehuaimg.com/proxy/csdn/https://private.codecogs.com/gif.latex?g%28k%29%3D%5Cmathcal%7BF%7D_M%5C%7Bf%28n%29%5C%7D%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5EN%20f%28n%29%20e%5E%7B-j2%5Cpi%20k%20n/N%7D%2Ck%20%5Cin%20%5B1%2CN%5D%2C)
![f(n)=\mathcal{F}^{-1}_M\{g(k)\}=\frac{1}{N} \sum_{k=1}^N g(k)e^{j2\pi k n/N}, n \in [1,N].](https://pic1.xuehuaimg.com/proxy/csdn/https://private.codecogs.com/gif.latex?f%28n%29%3D%5Cmathcal%7BF%7D%5E%7B-1%7D_M%5C%7Bg%28k%29%5C%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BN%7D%20%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5EN%20g%28k%29e%5E%7Bj2%5Cpi%20k%20n/N%7D%2C%20n%20%5Cin%20%5B1%2CN%5D.)
有两点需要注意的是
- 为了比较的方便，我把指数上的(k-1)*(n-1)替换成了kn,仅仅是为了这个问题的讨论方便。
- 为了方便区分，我在前一种定义下采用自变量
与
，Fourier变换采用
表示，后一种定义采用自变量
与自变量
,Fourier变换采用
表示。
与
，Fourier变换采用
表示，后一种定义采用自变量
与自变量
,Fourier变换采用
表示。如何将前者定义下的Fourier变换对应用到matlab中？
现在需要讨论的就是如何进行
从指数函数的指数来看，两者的指数是肯定相同的，如果假设
![{\color{Red} t=n, n\in [1,N]}](https://pic1.xuehuaimg.com/proxy/csdn/https://private.codecogs.com/gif.latex?%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20t%3Dn%2C%20n%5Cin%20%5B1%2CN%5D%7D)
的话，很明显有
![{\color{Red} \omega =2 \pi k/N, k \in [1,N]}](https://pic1.xuehuaimg.com/proxy/csdn/https://private.codecogs.com/gif.latex?%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%5Comega%20%3D2%20%5Cpi%20k/N%2C%20k%20%5Cin%20%5B1%2CN%5D%7D)
因此本文章的主要结论就讲完了，突然觉得有点简单。恩，下面是一些补充。
那么在matlab函数中，heviside函数的Fourier变换的形式是怎样的？
下面这个就是推导。
![{\color{Red} \mathcal{F}_M\{H(b-\mid n\mid)\} =\sum_{n=1}^N f(n) e^{-j2\pi k n/N}=2\pi (\frac{1}{2\pi}\sum_{n=1}^N f(n) e^{-j(2\pi k/N) n})\\ =2 \pi \mathcal{F}p\{ H(b-\mid n\mid)\} =2 \pi \frac{\text{sin}(k \omega)}{\pi \omega}=\frac{\text{sin}( 2 \pi bk/N)}{ \pi k/N}, where \; k,n \in [1,N]. }](https://pic1.xuehuaimg.com/proxy/csdn/https://private.codecogs.com/gif.latex?%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%5Cmathcal%7BF%7D_M%5C%7BH%28b-%5Cmid%20n%5Cmid%29%5C%7D%20%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5EN%20f%28n%29%20e%5E%7B-j2%5Cpi%20k%20n/N%7D%3D2%5Cpi%20%28%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi%7D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5EN%20f%28n%29%20e%5E%7B-j%282%5Cpi%20k/N%29%20n%7D%29%5C%5C%20%3D2%20%5Cpi%20%5Cmathcal%7BF%7Dp%5C%7B%20H%28b-%5Cmid%20n%5Cmid%29%5C%7D%20%3D2%20%5Cpi%20%5Cfrac%7B%5Ctext%7Bsin%7D%28k%20%5Comega%29%7D%7B%5Cpi%20%5Comega%7D%3D%5Cfrac%7B%5Ctext%7Bsin%7D%28%202%20%5Cpi%20bk/N%29%7D%7B%20%5Cpi%20k/N%7D%2C%20where%20%5C%3B%20k%2Cn%20%5Cin%20%5B1%2CN%5D.%20%7D)
红色为主要结论。
注意：本文章不讨论连续Fourier变换与离散Fourier变换之间的关系，我默认两者是近似相等的，即积分号可以变成求和。
一个用于验证的一维Fourier变换算例
在这个算例中，我采用matlab自带的fft函数对b=5的heaviside函数进行Fourier变换，然后将其高波数成分重叠到低波数成分（因为奈奎斯特采样与奈奎斯特频率）。
关于实数函数的Fourier分解的系数的模
由于变换之后是一个复数向量，但是连续Fourier变换的理论分析结果是一个实数函数，我猜测这是因为离散Fourier函数忽略了高波数成分。
于是我就想将复数向量的模与连续Fourier变换的结果系数的模进行比较。
关于模，有以下推导及定义。
假设有一个函数
由于我们不关心相位，平均值之类的东西，所以我们可以简单的取其平均值为0，即
将其余成分按照sin与cos进行拆分组合如下：
![u(t) &= \sum_{k=1}^\infty[(a_k+a_{-k})+j(b_k+b_{-k})]\text{cos}(\omega_k t)\\ &+\sum_{k=1}^\infty[j(a_k-a_{-k})+(b_k-b_{-k})]\text{sin}(\omega_k t)](https://pic1.xuehuaimg.com/proxy/csdn/https://private.codecogs.com/gif.latex?u%28t%29%20%26%3D%20%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%5Cinfty%5B%28a_k+a_%7B-k%7D%29+j%28b_k+b_%7B-k%7D%29%5D%5Ctext%7Bcos%7D%28%5Comega_k%20t%29%5C%5C%20%26+%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Bj%28a_k-a_%7B-k%7D%29+%28b_k-b_%7B-k%7D%29%5D%5Ctext%7Bsin%7D%28%5Comega_k%20t%29)
我们只讨论
于是通过简单的变换，我们就可以进行以下简化，
![u(t) &= 2\sum_{k=1}^\infty [a_k\text{cos}(\omega_k t)-b_{k}\text{sin}(\omega_k t)]\\ &=2\sum_{k=1}^\infty \mid c_k \mid \text{cos}(\omega_k t+ \theta_k)](https://pic1.xuehuaimg.com/proxy/csdn/https://private.codecogs.com/gif.latex?u%28t%29%20%26%3D%202%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%5Cinfty%20%5Ba_k%5Ctext%7Bcos%7D%28%5Comega_k%20t%29-b_%7Bk%7D%5Ctext%7Bsin%7D%28%5Comega_k%20t%29%5D%5C%5C%20%26%3D2%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%5Cinfty%20%5Cmid%20c_k%20%5Cmid%20%5Ctext%7Bcos%7D%28%5Comega_k%20t+%20%5Ctheta_k%29)
其中，
通过这一段的分析，我想要说明，Fourier变换之后的函数的模与其波数仍然是具有一一对应的关系，不会因为取模之后，某一个波数的对应值就会对其他的波数造成影响。因此，通过比较模来比较两种Fourier变换定义下的变换结果是有意义的。
计算结果
因为连续Fourier变换只有实数成分，所以只需要取其绝对值就好，但是又因为fft的结果高于奈奎斯特采样频率的部分被重叠到了低波数成分，所以连续Fourier变换的结果取绝对值之后还要乘以2。与此章的上一节分析有异曲同工之妙。
现实空间的heaviside函数的图像如下所示。
谱空间的模关于波数的函数如下所示。
从图中可以看出，两者结果是很相近的，唯一的区别是，在较高的波数时，fft结果模偏大，猜测这可能是因为fft只能对有限波数进行计算，并不能在无限域中进行Fourier变换，所以更高波数的影响被累积到这些波数中。
两者进行比较的代码如下：
clc;clear;close all;
N=128;
n=1:N;
b=5;
%生成heaviside函数
data=(n<=(10+2*b-1)) & (n>=(10));
data_fft=fft(data);
figure;plot(data,'.-')
xlabel('n')
ylabel(strcat('heaviside (b=',num2str(b),')'))
saveas(gcf,'test_real.eps')
%fft变换后的波数折叠
data_fft=[2*data_fft(2:(N/2)) data_fft(N/2+1)];
%求fft的模
data_mod=sqrt(data_fft.*conj(data_fft));
figure;plot(data_mod,'b+-')
k=1:(N/2);
% b=5;
y=sin(2*pi*b*k/N)./(pi*k/N);
%求模与折叠
y=2*abs(y);
hold on;plot(k,y,'ro-')
xlabel('wave number k')
ylabel('|c_n|')
legend('fft results','theoretical results')
saveas(gcf,'test_fourier.eps')
