【BZOJ】1010 玩具裝箱

分析

預處理前綴和

sumi=∑j=1iai

，爲區間求和作準備。

這顯然是dp。
設fi 表示前i 件玩具花的最小費用。
則有：
①邊界條件：f0=0 ；
②動態轉移方程：fi=min(fj+(i−j−1+sumi−sumj−L)2) ；
③答案：fn 。

直接求解，時間複雜度爲O(n2) ，顯然會TLE。
考慮斜率優化。

原來的方程太複雜了，我們先化簡一下。
通過換元法化簡動態轉移方程，將參量、變量、常量分離。
記gi=i+sumi，gj=j+sumj，C=1+L ，
∴fi=min(fj+(gi−gj−C)2)

再求解斜率方程。
爲了加快求解，我們設法儘可能多的排除一些狀態，這需要決策點之間的比較，我們要找出決策點比較的式子。

設當前要求fi ，存在決策點k,j ，k>j ，滿足決策k 優於決策j 。
∴fk+(gi−gk−C)2≤fj+(gi−gj−C)2
∴fk+(−gk−C)2+2gi(−gk−C)≤fj+(−gj−C)2+2gi(−gj−C)
∴fk+(gk+C)2−fj−(gj+C)2≤2gi(gk−gj)
∵k>j，sumk>sumj
∴k+sumk>j+sumj 即gk>gj
∴slope(k,j)=fk+(gk+C)2−fj−(gj+C)2gk−gj≤2gi

不難發現，k 和j 可以看做兩個定點，不因i 的改變而改變：
(fk+(gk+C)2，gk) 和(fj+(gj+C)2，gj) 。
近一步，∀i∈N+ ，決策點i 可以表示爲平面上的點(fi+(gi+C)2，gi) 。

對於∀k,j∈N+ ，k>j ，
①當slope(k,j)≤2gi 時，決策點k 優於決策點j ；
②當slope(k,j)>2gi 時，決策點k 劣於決策點j 。

可以將問題轉化爲平面上的點的問題。

現在問題轉化爲：
給定平面上n 個在橫縱座標都單調遞增的點，給定一個斜率k ，支持以下三種操作：
①插入點操作：
在第n 個點(xn,yn) 的末尾增加一個點n+1 ，也滿足xn+1>xn，yn+1>yn ；
②詢問點操作：
在點集X={(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)} 中尋找一個點i ，使得經過i 斜率爲k 的直線在其他所有點之下；
③更改k 操作：
將k 變成k′ ，滿足k′>k 。

要尋找的點i ，很明顯i 在點集的下凸殼。
又由於k 是不斷增大的，所以凸殼上要找的點i 的橫座標也在不斷增大。

我們只需要維護一個單調隊列即可。

隊首維護：
隊首的點爲A ，B ，若slope(B,A)≤2gi ，則將隊首往後移一位；

隊尾維護：
隊末三個點爲A ，B ，C 。
若slope(A,B)>slope(A,C) ，則將B 移出隊。

每個點進隊一次，出隊一次。
所以總的時間複雜度爲O(n) ，空間複雜度也爲O(n) 。

總結

總算徹底弄清斜率優化的嚴謹過程了。

代碼

#include <cstdio>
#include <cctype>

typedef long long Lint;
const int N=65536;

int n,l;
int c[N];

Lint sum[N];

Lint g[N];
Lint C;
Lint f[N];
Lint x[N];
Lint y[N];

int q[N];
int qh,qt;

inline int Read(void)
{
    int x=0; char c=getchar();
    for (;!isdigit(c);c=getchar());
    for (;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
    return x;
}

inline double Slope(int i,int j)
{
    return ((double)y[i]-y[j])/(x[i]-x[j]);
}

int main(void)
{
    n=Read(),l=Read();
    for (int i=1;i<=n;i++) c[i]=Read();

    for (int i=1;i<=n;i++) sum[i]=sum[i-1]+c[i];

    C=1+l;
    for (int i=1;i<=n;i++) g[i]=sum[i]+i;
    f[0]=0;
    x[0]=g[0];
    y[0]=f[0]+(g[0]+C)*(g[0]+C);
    q[qh=qt=1]=0;

    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        for (;qh!=qt&&Slope(q[qh+1],q[qh])<=2.0*g[i];q[qh++]=0);
        f[i]=f[q[qh]]+(g[i]-g[q[qh]]-C)*(g[i]-g[q[qh]]-C);
        x[i]=g[i];
        y[i]=f[i]+(g[i]+C)*(g[i]+C);
        for (;qh<qt&&Slope(q[qt-1],i)<Slope(q[qt-1],q[qt]);q[qt--]=0);
        q[++qt]=i;
    }

    printf("%lld\n",f[n]);

    return 0;
}