最大似然估計與最小二乘估計的區別
標籤(空格分隔): 概率論與數理統計
最小二乘估計
對於最小二乘估計來說,最合理的參數估計量應該使得模型能最好地擬合樣本數據,也就是估計值與觀測值之差的平方和最小。
設Q表示平方誤差,
最大似然估計
對於最大似然估計來說,最合理的參數估計量應該使得從模型中抽取該n組樣本的觀測值的概率最大,也就是概率分佈函數或者似然函數最大。
顯然,最大似然估計需要已知這個概率分佈函數,一般假設其滿足正態分佈函數的特性,在這種情況下,最大似然估計與最小二乘估計是等價的,也就是估計的結果是相同的。
最大似然估計原理:
1. 當給定樣本
2.
MLE的步驟:
1. 由總體分佈導出樣本的聯合概率函數(或聯合密度);
2. 把樣本聯合概率函數的自變量看成是已知常數,而把
3. 求似然函數的最大值(常常取對數,然後求駐點);
4. 用樣本值帶入得到參數的最大似然估計。
例題
設一個有偏的硬幣,拋了100次,出現1次人頭,99次字。問用最大似然估計(ML)和最小均方誤差(LSE)估計出現人頭的概率哪個大?
LSE
設使用LSE估計,出現人頭的概率爲
已知觀測量爲:(觀測到的)出現人頭的概率爲
令
ML
設使用ML估計,所以x服從伯努利分佈,
則概率密度函數爲:
則連續100次試驗的似然函數爲:
最大化似然函數,則
對
兩者雖然得到的估計值是一樣的,但是原理完全不同,要對他們的推導過程非常清楚。