計算機視覺的數學基礎

本文轉載高博士的博客
主要介紹了在計算機視覺中關於3D變換矩陣的數學方法。

1. 旋轉矩陣是一種3×3的正交矩陣，
   
   這裏R爲3D的旋轉矩陣，同樣的，t爲3D的平移矢量。
   由於3D旋轉都可以歸結成按照某個單位向量n進行大小爲θ的旋轉。所以，已知某個旋轉時，可以推導出對應的旋轉矩陣。該過程由羅德里格斯公式表明，由於過程比較複雜，我們在此不作贅述，只給出轉換的結果：　
   
   這裏 公式雖然較爲複雜，但實際寫成程序後，只需知道旋轉方向和角度後即可完成計算。另一件有趣的事是，如果用
   
   表示與n對應的一個反對稱矩陣，那麼有：
   （李代數會對後面的指數形式做出解釋）
   根據此式，我們也可以從任意給定的旋轉矩陣，求出對應的轉軸與轉角。關於轉角θ，我們對上式兩邊求矩陣的跡，可得：
   
   可得
   關於轉軸n，由於旋轉軸上的向量在旋轉後不發生改變，說明
   
   因此，只要求此方程的解向量即可。這也說明n是R特徵值爲1的一個特徵向量。
   總之，讀者應當明白在3D時，旋轉和平移仍可用轉移矩陣T來描述，其結構也與2D類似。而T4×4構成了三維歐氏變換羣SE(3)。注意到T雖然有16個變量，但真正的自由度只有6個，其中3個旋轉，3個位移。
   歐拉角是一種廣爲使用的姿態描述方式，以直觀見長。在最常用的歐拉角表達方式中，我們把旋轉分解成沿三個軸轉動的量：滾轉角－俯仰角－偏航角(roll-pitch-yaw)。它的好處是十分的直觀，且只有三個參數描述。缺點是會碰到著名的萬向鎖問題：在俯仰爲±90∘時，表達某個姿態的形式不唯一。此外，它也不易於插值和迭代。一般不怎麼用，只有在驗證結果是否正確時，方便使用。

2. 四元數
   相比歐拉角，四元數(Quaternion)則是一種緊湊、易於迭代、又不會出現奇異值的表示方法。它在程序中廣爲使用，例如ROS和幾個著名的SLAM公開數據集、g2o等程序都使用四元數記錄機器人的姿態。
   四元數僅是3D姿態的一種表達方式，我們用一個單位四元數表達原本用旋轉矩陣表示的三維旋轉。這樣做一個直接的好處是省空間。一個旋轉陣有9個分量，但只有三個自由度。那麼，能不能用三個數來描述呢？可以是可以的，但不可避免會出現奇異的情況，歐拉角就是一個例子。而四元數，比三維向量多了一個分量，從而可以無奇異地表示各種姿態。
   四元數是Hamilton找到的一種擴展的複數。一個四元數擁有一個實部和三個虛部（故事上說他原先找了很久帶兩個虛部的，結果怎麼也找不到，最後豁然開朗找到了三虛部的四元數）：
   
   其中i,j,k爲四元數的三個虛部。這三個虛部滿足關係式：
   
   由於它的這種特殊表示形式，有時人們也用一個標量和一個向量來表達四元數：
   
   這裏，標量s稱爲四元數的實部，而向量v稱爲它的虛部。如果一個四元數虛部爲0，稱之爲實四元數。反之，若它的實部爲0，稱之爲虛四元數。該定義和複數是相似的。
   四元數可以表示三維空間中任意一個旋轉。與旋轉矩陣中類似，我們仍假設某個旋轉是繞單位向量 進行了角度爲θ的旋轉，那麼這個旋轉的四元數形式爲：
   
   事實上，這還是一個模長爲1的四元數，稱爲單位四元數。反之，我們亦可通過任意一個長度爲1的四元數，計算對應旋轉軸與夾角：
   
   若某個四元數長度不爲1，我們可以通過歸一化將它轉換爲一個模長爲1的四元數。對旋轉角的四元數形式的θ加上2π，我們得到一個相同的旋轉，但此時對應的四元數變成了−q。因此，在四元數中，任意的旋轉都可以由兩個互爲相反數的四元數表示。同理，取θ爲0，則得到一個沒有任何旋轉的四元數：
   
   四元數和通常複數一樣，可以進行一系列的運算。常見的有四則運算、內積、求逆、共軛、求指數／對數等等。表示姿態時，它還可以進行插值。
   3D空間也可以用單位四元數表示旋轉。假設一個空間三維點v=[x,y,z]∈R3 ，以及一個由旋轉軸和夾角n,θ指定的旋轉，首先，我們把三維空間點用一個虛四元數來描述：
   
   然後，參照旋轉角的四元數表示，用另一個四元數q表示這個旋轉：
   
   那麼，旋轉後的點p′p′即可表示爲這樣的乘積：
   
   可以驗證，計算結果的實部爲，故計算結果爲純虛四元數。其虛部的三個分量表示旋轉後3D點的座標。
   由於任意單位四元數都可表示爲一個3D旋轉，即SO(3)中的元素，我們可以找到一個旋轉矩陣與之對應。最簡單的方式是由四元數q解出旋轉角θ和旋轉軸n，但那樣要計算一個arccos函數，代價較大。實際上這個計算是可以通過一定的計算技巧繞過的。爲省略篇幅，我們直接給出四元數到旋轉矩陣的轉換方式。
   設四元數q=q0+q1i+q2j+q3k，對應的旋轉矩陣R爲：
   
   反之，由旋轉矩陣到四元數的轉換如下。假設矩陣爲R={mij},i,j∈[1,2,3]，其對應的四元數q由下式給出：
   

3. 其他幾種變換
   1). 相似變換比歐氏變換多了一個自由度，7個自由度，它允許物體進行自由地縮放。
   
   　　注意到旋轉部分多了一個縮放因子s，它在x,y,z三個座標上形成均勻的縮放。類似的，相似變換的乘法也構成羣，稱爲Sim(3)。由於含有縮放，相似變換不再保持圖形的面積不變。
   2). 仿射變換的矩陣形式如下：
   
   　　與歐氏變換不同的是，仿射變換隻要求A是一個可逆矩陣，而不必是正交矩陣。在仿射變換下，直線的夾角會發生改變，但平行性質不變。這即是說，仿射變換把平行四邊形變爲平行四邊形。有12個自由度。平行行和體積比不變。
   3). 射影變換是最一般的變換，它的矩陣形式爲:
   
   　　它左上角爲可逆矩陣A，右上爲平移t，左下縮放aT。由於採用齊座標，當v≠0時，我們可以對整個矩陣除以v得到一個右下角爲1的矩陣； 否則，則得到右下角爲0的矩陣。因此，這個矩陣在2D中一共有8個自由度，而在3D中一共有15個自由度，是現在提到的變換中最爲一般的。接觸平面的相交和相切。