突然發現我這博客咋啥都開始寫了呢。。。
上微積分課胡思亂想系列。。。
顯然這個東西在數學上是沒有定義的。
包括−1 的13 次方這樣的東西，數學上的定義也挺模糊的
不過我們可以想想這東西應該怎麼定義。。。
首先，從定義出發，一個數a 的k 次方(k∈Z )如何定義？
k 個a 連乘。
因爲乘法在R 上均有定義，所以a 的正整數次方在R 上均有定義。
接下來，一個數a 的負k 次方(k∈Z )該如何定義？
根據k>0 時候的定義有ak1∗ak2=ak1+k2 ，因此定義應該將這個性質延續下去，即a−k∗ak+1=a−k+k+1=a ，a−k=aak+1=1ak
據此也有a0=ak∗a−k=1
1/0 無定義，因此以上二者的定義域都是a∈{x|x∈R,x≠0}
整數域已經做完了，下面我們該進入有理數域了。
一個數a 的pq 次方等於多少？
和上面類似，根據整數時候的定義有(ak1)k2=ak1k2 ，因此新的定義應該將這個性質延續下去，即(ap/q)q=ap
即ap/q 是ap 的q 次方根
什麼是ap 的q 次方根？
定義ap 的q 次方根爲方程xq=ap 的解
當q 爲奇數的時候這個方程在R 上有唯一解，但q 爲偶數的時候，當ap≥0 時在R 上有兩個解，當ap 爲負數的時候在R 上無解！
爲了保護一些函數的優雅性質，當ap≥0 時我們定義了算數次方根爲二者中非負的那個，至於ap<0 ，我們不討論了……
可是負數很可憐不是麼？
比如(−8)13 按照定義在實數上是有定義的啊……
而且照着這定義來會出事……
比如根據定義，(−8)13 是x3=−8 在R 上的唯一解−2 ，可是(−8)13=(−8)26 是x6=64 的非負實數解，即2 ……
這個問題我們放在後面討論吧。
終於到了無理數了。
顯然根據我們已有的運算，我們沒什麼辦法把一個無理數次方的運算搞到有理數域去。
我們的第一想法是利用泰勒展開
設函數
f(x)=(x+1)α=10!+αx1!+α(α−1)x22!+α(α−1)(α−2)x33!+...
易證當α 爲正無理數時這東西收斂當且僅當x∈[−1,1]
不過用這個方法我們可以知道正數的無理數次方的定義
以2√ 爲例，假設我們想要知道a2√(a>0) 的值
若a∈(0,1] ，直接將x=a−1 代入泰勒展開式，其極限即爲a2√
若a∈(1,+∞) ，將x=1a−1 代入泰勒展開式，其極限的倒數即爲a2√
由此我們得到了實數域上正數的無理數次方的定義。
負數呢？嘗試代入x+1<0 ，即x<−1 ，不收斂，GG
……
……
……
實數域上能做的事情我們似乎都做完了，擴展到複數域上去吧。
根據歐拉定理，我們可以把一個正實數a 寫成a∗e2kπi ，一個負實數a 寫成−a∗e(2k+1)πi ，0我們不討論了
左側部分是個正實數，正實數的任意實數次方在實數下都是有定義的，所以算完之後乘一下就行了，以下我們只考慮右側部分，即|a|=1
那麼(ekπi)α=ekαπi ，這個在α∈R 上均有定義，可是……做完了？
整數域似乎沒什麼問題，不過看看有理數，我們之前說算數次方根是取了非負的那個，可是現在是複數域……
什麼是非負？
複數域沒有非負的概念，也就是說我們只能把兩個根無差別全都拎過來了。
用一個集合表示怎麼樣？
定義：一個實數x 的α 次方集合Z(x,α)={α∗k|k∈Z,|x|ekπi=x}
例如：
Z(1,1)={2k|k∈Z}
Z(−1,1)={2k+1|k∈Z}
Z(1,2)={4k|k∈Z}
Z(−1,2)={4k+2|k∈Z}
因爲這個定義是我自己瞎BB的所以我也不知道數學上到底有沒有這玩意以及這玩意的各種性質對不對
容易發現，雖然集合是無限集，但是由於e2πi=1 ，所以實際上取值未必是無限的。
那麼我們來看看α∈Q 的情況
Z(1,12)={k|k∈Z} ，ekπi 取值只有兩個，1 和−1 ，對應x2=1 的兩個實數解
Z(−1,12)={k+12|k∈Z} ，e(k+12)πi 取值只有兩個，i 和−i ，所以x2=−1 無實數解
Z(1,13)={23k|k∈Z} ，e23kπi 取值有三個，1,e23πi,e43πi ，其中1 是x3=1 的唯一實數解
Z(−1,13)={2k+13|k∈Z} ，e2k+13πi 取值有三個，e13πi,−1,e53πi ，其中−1 是x3=−1 的唯一實數解
這樣就完美了。
之前的問題：(−1)13?=(−1)26
換句話講，Z(−1,13)?=Z(−1,26)
根據定義，二者顯然相等
但是，Z(−1,26)≠Z(1,16)
這也就告訴我們Z 函數不滿足Z(xα,β)=Z(x,αβ)
當然，x 非負的時候二者的值域是相等的，這個再說了。
-沒有運算法則的話，要這東西有啥用？
-它能告訴你−1 的2√ 次方等於多少啊！
-那等於多少啊？
根據定義，
Z(−1,2√)={(2k+1)2√|k∈Z}
容易發現，∀k1≠k2,(2k1+1)2√−(2k2+1)2√=22√(k1−k2)≠2k ，所以任意兩個e(2k+1)2√πi 都不相等，值域是個無限集
那麼這其中有沒有實數呢？
顯然，(2k+1)2√ 一定是個無理數，而e(2k+1)2√πi 是實數要求(2k+1)2√ 是個整數，因此沒有。
所以，(−1)2√ 在R 上無定義。
類似地，我們可以知道
Z(1,2√)={22√k|k∈Z}
它的值域同樣是個無限集，但是比較幸運的是這個無限集裏有個e22√∗0πi=1 ，這也是12√ 在實數域下的唯一定義。
大概就這麼多了吧，這東西可以理解爲冪運算在複數域下的一次延拓，至於這東西有啥用，反正它能告訴你−1 的根號二次方不是實數，剩下的事情留給後人去探索吧。
