【NOIP提高組】神炎皇

Description

神炎皇烏利亞很喜歡數對，他想找到神奇的數對。
對於一個整數對(a,b)，若滿足a+b<=n且a+b是ab的因子，則成爲神奇的數對。請問這樣的數對共有多少呢？

Solution

從題意上來看（a+b）是（a*b）的因子，設d=gcd(a,b) a′=ad b′=bd 。
(a+b)|(a∗b) 可以等價爲(a′+b′)∗d|a′∗b′∗d2
∵gcd(a,b)=d ∴gcd(a′,b′)=1 且(a′+b′)|d ，也意味着(a′+b′)≤d
又∵a+b≤n 即(a′+b′)∗d≤n
∴不妨枚舉k=(a′+b′) ，對於枚舉出的這個值共有nk2 個是對應合法的，而求(a′+b′)=k 且a′ 與b′ 互質的對數，很明顯就是求φ(k) ，用線性篩就能夠完成了。

Code

var
    n,ans,sum,i,maxn:int64;
    s,f:array[0..10000000] of longint;
    p:array[0..10000000] of boolean;
    pd:boolean;
procedure phi;
var i,j,maxn:longint;
begin
    maxn:=trunc(sqrt(n));
    for i:=2 to maxn do
    begin
        if p[i]=false then
        begin
            inc(s[0]);s[s[0]]:=i;p[i]:=true;f[i]:=i-1;
        end;
        for j:=1 to s[0] do
        begin
            if i*s[j]>maxn then break;
            p[i*s[j]]:=true;
            if i mod s[j]=0 then
            begin
                f[i*s[j]]:=f[i]*s[j];
                break;
            end
            else f[i*s[j]]:=f[i]*(s[j]-1);
        end;
    end;
end;
begin
    readln(n);
    phi;
    maxn:=trunc(sqrt(n));
    i:=1;
    while i<maxn do
    begin
        inc(i);
        sum:=n div (i*i);
        ans:=ans+f[i]*sum;
    end;
    writeln(ans);
end.