九度1085解題報告（機試出這種題我死定了）

http://ac.jobdu.com/problem.php?pid=1085

我自己的方法是構造bigint數據類型，然後無腦循環乘求冪，然後再轉換k進制，遞歸求解。這種做法的時間複雜度就不用說了，數據稍微一大一定超時。真正有效的做法代碼很簡單，卻需要很強的數學知識和嚴格證明，自知達不到這個水平，果斷引來大神的博客http://blog.sina.com.cn/s/blog_8619a25801010wcy.html快速冪取模。原文如下：

計算x^ymod n;如果採用常規方法，當x與y都比較小的情況下，採用直接計算可以，但是如果當x跟y都非常大的時候，如2^1000mod 100000，那該如何解決呢？
      利用模運算的這個：（a*b）mod n = (（a mod n） * b ) mod n;
      例如：2^11 mod 100 = 2^(1011) mod 100= （(2 ^(1010)mod 100)＊２）mod 100……
       1011爲11的二進制表示
      於是就有如下的實現過程了：

1. #define LL long long int
2. LL exp_mod( LL x , LL y , LL n ){
3.      LL ret=1;
4.      while(y){
5.              if(y&1) ret=(ret*x)%n;
6.              x=(x*x)%n;
7.              y=y>>1;
8.      }
9.      return ret;
10. }

    程序執行次數至於y的位長度有關。

    實戰例子：求root(N, k)

        2010年清華的上機題目，題意請點擊題目處鏈接。

        本題可以有如下分析：

       N=a0+a1*k+a2*k^2+……+an*k^n;

       N'=a0+a1+a2+……+an;

       N-N'=a1*(k-1)+a2*(k^2-1)+……+an*(k^n-1);

       提取(k-1)有: (N-N')%(K-1)=0;

       繼續遞推下去有： （N-N'）%(k-1) =0；

                                    （N'-N''）%(k-1)=0;

                                      ……

                                     （N(r-1)-N(r)）%（k-1）=0；

        相加有：（N-N(r)）%(k-1)=0,N(r)是我們要求的結果，故有

        N(r) = N % (k-1);

        如果 N(r)==0 ,爲邊界，則 N(r) = k-1;

         至於如何取模運算參考上面剛學習的快速冪取模即可。

        實現代碼如下：

1. #include <stdio.h>
2. #define LL long long int
3. LL exp_mod(LL x,LL y,LL n){
4.     LL ret=1;
5.     while(y){
6.         if(y&1) ret=(ret*x)%n;
7.         x=(x*x)%n;
8.         y=y>>1;   
9.     }   
10.     return ret;
11. }
12.  
13. int main(){
14.     LL a,b,k,ans;
15.      
16.     while(scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&k)==3){
17.         ans=exp_mod(a,b,k-1);
18.         if(ans==0) ans=k-1;
19.         printf("%lld\n",ans);  
20.     }
21.     return 0;
22. }

-----------Amazing Mathematics

注意，當我用int時，無法ac，改爲long long才能ac，因爲兩個足夠大的數在做乘法時，很可能溢出。

數學的重要性，就不用我再說了吧，讀研的時候好好加強數學背景吧。