兩視圖幾何(綜述)

主要內容是關於兩幅透視圖的幾何。這些視圖可以由一個雙眼裝置同時獲取(例如 Stereo Camera),或者由一個相對於景物運動的攝像機相繼地攝取(例如 Monocular Camera)。這兩種情形在幾何上是等價的,在以後的討論中不加以區別。

每幅視圖有相應的攝像機矩陣P、P',其中“‘”標記第二幅視圖的元素,而且維空間的一點X在第一幅視圖的影像是x = PX,在第二幅視圖的的是x' = P'X。像點x與x’對應,因爲他們是同一個維空間點的像。

注意:這裏的相機矩陣P、P'指的是相機的內參和外參。

所以,我們着重討論三個問題:

  1. 對應幾何(對極幾何)  給定第一幅視圖的像點x,它怎麼約束第二幅視圖的對應點x‘的位置?
  2. 攝像機幾何(運動)  給定對應點集|xi <--> xi'| ,i = 1,2,3,....n,對應這兩幅視圖的攝像機矩陣P和P'是什麼?
  3. 景物幾何(結構)給定對應像點 x<-->x' 和攝像機矩陣P、P‘,它們在三維空間(的原像)的位置X是什麼?

接下來的第一個博客將介紹兩視圖的對極幾何並直接回答第一個問題:一幅視圖中的點定義了另一幅視圖中對應點所在的對極線。對極幾何只依賴於攝像機——其相對位置及其內參數,與景物結構無關。對極幾何由3x3矩陣F表示,稱爲基本矩陣。這個博客對基本矩陣中的元素的功能進行介紹並在兩個攝像機矩陣P、P’已知時給出求基本矩陣的方法,然後證明,P、P‘在相差一個3維空間攝影變換的意義下可以由F計算得到(就是說,可以由F計算出相機的內參、外參)。

 

第二個博客介紹未標定多視圖幾何的一個重要結果——僅由圖像對應點,不需要其他的信息,就可以計算出攝像機和景物結構的重構,這裏可以同時回答問題2\3。僅僅根據點對應得到的重構將相差一個三維的投影變換,但是這種不確定性可由攝像機或者景物的良定的額外信息來解決。用這種方法,可以可以由未標定的圖像計算一個仿射或者度量的重構,後面兩篇博客將詳細介紹有關細節和計算這個重構的數值算法。

 

第三個博客介紹由一組對應點|xi <-->xi'|計算F的方法,該方法甚至不需要知道這些點的結構(3D原像Xi)和攝像機矩陣。攝像機矩陣P和P'在相差一個射影變換的意義下可以由所得的F來確定。

 

第四個博客介紹在給定相機和射影點之後,計算景物結構的三角形法——由被相應的攝像機P、P'反向投影的對應點x和x‘的射線的交點來計算三維空間點X。類似地,其他幾何元素(如直線或二次曲線)的3D位置也可由給定的他們圖像的對應點來計算。

 

第五個博客 涵蓋平面的兩視圖幾何。給出第一問題的另一種回答:如果景物在一張平面上,則一旦這張平面的有關幾何被計算出來之後,則一個點在一幅圖像上的像x決定改點在另一幅圖像上的像x’的位置。x、x‘由一個平面射影變換相聯繫。還有就是“無窮單應“,這是由無窮遠平面引起的變換。

 

第六個博客介紹兩個仿射攝像機矩陣P、P’的兩視圖幾何。這種特殊情形相對於一般攝影的情形有許多簡化,並且能爲許多實際情況提供一個很好的近似。

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