51Nod 1220 約數之和&&PE439

∂(i) 表示i的約數和
∑ni=1∑nj=1∂(ij)
=∑ni=1∑nj=1∑w|i∑v/jwv∗∑d|w,d|(i/v)u(d)
我們嘗試把d提前 會發現有
=∑nd=1d∗u(d)(∑(n/d)i=1∂(i))2
後面(∑(n/d)i=1∂(i))2 可以看作f(n/d)
對於∑(n/d)i=1∂(i) 我們可以小數據預處理&&大數據O(n0.5) 暴力
那麼我們有
=∑nd=1d∗u(d)∗f(n/d)
現在我們只需要求出∑nd=1d∗u(d) 即可
設∑nd=1d∗u(d)=S(n) 我們給前式卷上一個id
可得
S(n)=1−∑nd=2d∗S(n/d)
好了 完美解決
如果你要交PE的話。。
祝你好運
由於PE模數原因。。我和另一個同學花了一個晚上找哪裏爆了

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<map>
using namespace std;
#define ll long long
char c;
inline void read(ll &a)
{
    a=0;do c=getchar();while(c<'0'||c>'9');
    while(c<='9'&&c>='0')a=(a<<3)+(a<<1)+c-'0',c=getchar();
}

const
    ll Mod=(int)1e9,MAXN=(int)3e7+1;
bool check[MAXN];
int mu[MAXN],prime[MAXN],tot,Min[MAXN],siz[MAXN],s[MAXN];

inline int add(int x,int y)
{
    int res=x+y;
    if(res>=Mod)
        res-=Mod;
    if(res<0)res+=Mod;
    return res;
}
inline int mul(int x,int y){return x*1ll*y%Mod;}
inline 
int A(ll x)
{
    if(x&1)
        return (x%Mod)*((x+1>>1)%Mod)%Mod;
    return ((x>>1)%Mod)*((x+1)%Mod)%Mod;
}
inline 
int cn(ll x,ll y){return A(y)-A(x-1);}
map<ll ,int >M;
int Mu(ll x)
{
    if(x<MAXN)return mu[x];
    if(M[x])return M[x];
    ll i=2,j;
    int res=0;
    while(i<=x)
    {
        j=x/(x/i);
        res=add(res,mul(cn(i,j),Mu(x/i))%Mod);
        i=j+1;
    }
    return M[x]=add(1,Mod-res);
}

map<ll,int >C;
int Calc(ll x)
{
    if(x<MAXN)return s[x];
    if(C[x])return C[x];
    int res=0;
    ll i=1,j;
    while(i<=x)
    {
        j=x/(x/i);
        res=add(res,mul(x/i%Mod,cn(i,j)));
        i=j+1;
    }
    return C[x]=mul(res,res);
}
int S(ll x)
{
    ll i=1,j;
    int res=0;
    while(i<=x)
    {
        j=x/(x/i);
        int tp=add(Mu(j),-Mu(i-1));
        res=add(res,mul(tp,Calc(x/i)));
        i=j+1;
    }
    return res;
}

void out(int x)
{
    if(x<0)putchar('-'),x=-x;
    if(x>9)out(x/10);
    putchar('0'+x%10);
}

int main()
{
    s[1]=mu[1]=siz[1]=Min[1]=1;
    for(ll i=2;i<MAXN;i++)
    {
        if(!check[i])prime[++tot]=i,s[i]=1+i,Min[i]=i,siz[i]=i,mu[i]=-1;
        for(ll j=1,k;j<=tot&&(k=prime[j]*i)<MAXN;j++)
        {
            check[k]=true;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                Min[k]=Min[i];
                siz[k]=siz[i]*prime[j];
                mu[k]=0;
                s[k]=s[i/siz[i]]*(s[i]/s[i/siz[i]]+siz[k]);
                break;
            }
            Min[k]=prime[j];
            siz[k]=prime[j];
            mu[k]=-mu[i];
            s[k]=s[i]*(prime[j]+1);
        }
        mu[i]=mul(mu[i],i);
        mu[i]=add(mu[i],mu[i-1]);
    }
    for(ll i=1;i<MAXN;i++)
        s[i]=add(s[i],s[i-1]);
    for(ll i=1;i<MAXN;i++)
        s[i]=mul(s[i],s[i]);
    out(S((ll)1e11));
    return 0;
}