題目
給你正整數,讓你求任意一個,滿足從開始的連續個整數通過以下條件聯通:
對於兩個數和,假如和不互質,那麼它們之間就連上一條邊。
(記得打高精度)
思考歷程
花了半天時間終於把題目換成了一個可以看的模型:
對於所有小於的質數,的所有倍數(形如)都連在一起。
題目的條件是
簡單推一下就是
(接下來爲了方便,我直接將變成)
於是就有了更好看的模型:對於數列,對於每個質數,欽定一個數,表示所有滿足的都連在一起。
至於,做中國剩餘定理就可以求出來了。
現在的問題時怎麼構造,而我不會……
所以就暴力構造,如果合法就用中國剩餘定理求。
得分和純暴力沒有什麼兩樣。
正解
先說一說一個更加優美些的暴力該怎麼做。
對於某個大於的質數,很顯然它只能連接兩個點。
由於考慮(也就是)的時候就已經將距離爲偶數的點連起來了,所以對於某個奇素數連向了某個數,如果它沒有在的時候被連到,那麼它連向的(或)一定在的時候被連到了(因爲爲奇數)
所以,在暴力了之前的質數之後,剩餘的質數貪心地去撿漏就好了。
題解說這樣可以過掉,但實測出只能過。
接下來就是題解的奇妙構造大法。
考慮假如我們把第一個點(也就是)作爲核心點(就是),就會發現除了第二個點()之外,其它的點都會被接上。
於是我們考慮怎麼讓它被連到。
然而在這個情況下,已經沒有素數供我們使用了。
考慮將核心點放在中間(記爲),容易發現只有和沒有被連上。
找到最大的小於的兩個素數,分別將和連上。
由於這兩個素數被侵佔了,所以會多出幾個位置沒有連上。
以上的素數我們還沒有用過,那就隨便連連即可。
接下來有個問題:有沒有可能素數不夠用??
實踐表明,有這種情況……在的時候還是自己跑暴力吧。
不過更大的數,似乎都可以(這就要靠實踐了……)
我猜想都可以用這個方式構造出來,但是不會證。
如果能證的話,GMH大爺提供了一條定理,可以參考一下:
伯特蘭-切比雪夫定理
代碼
SRC Download
using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#define N 100010
#define ll long long
ll qpow(ll x,int y,int mo){
ll res=1;
for (;y;y>>=1,x=x*x%mo)
if (y&1)
res=res*x%mo;
return res;
}
int n;
int p[N],np;
bool inp[N];
int a[N];
int dsu[N];
int getdsu(int x){return dsu[x]==x?x:dsu[x]=getdsu(dsu[x]);}
#define BIT 1000000
struct Bigint{
int k;
ll v[N];
void print(){
printf("%lld",v[k]);
for (int i=k-1;i>=0;--i)
printf("%06lld",v[i]);
}
};
inline void operator+=(Bigint &A,Bigint &B){
for (int i=0;i<=A.k || i<=B.k;++i){
A.v[i]+=B.v[i];
A.v[i+1]+=A.v[i]/BIT;
A.v[i]%=BIT;
}
A.k=max(A.k,B.k);
if (A.v[A.k+1])
A.k++;
}
inline void operator*=(Bigint &A,int x){
for (int i=0;i<=A.k;++i)
A.v[i]*=x;
for (int i=0;i<=A.k;++i){
A.v[i+1]+=A.v[i]/BIT;
A.v[i]%=BIT;
}
if (A.v[A.k+1])
A.k++;
}
inline void operator*=(Bigint &A,Bigint &B){
static Bigint C;
memset(C.v,0,sizeof(ll)*(A.k+B.k+1+1));
for (int i=0;i<=A.k;++i)
for (int j=0;j<=B.k;++j)
C.v[i+j]+=A.v[i]*B.v[j];
for (int i=0;i<=A.k+B.k;++i){
C.v[i+1]+=C.v[i]/BIT;
C.v[i]%=BIT;
}
C.k=A.k+B.k;
if (C.v[C.k+1])
C.k++;
A.k=C.k;
memcpy(A.v,C.v,sizeof(ll)*(C.k+1));
}
Bigint pro,sum,Mi;
int cnt,ai[N],mi[N];
void calc(int mid){
pro.k=0;
pro.v[0]=1;
for (int i=1;i<=np;++i)
if (a[i]==0)
pro*=p[i];
else{
++cnt;
ai[cnt]=a[i];
mi[cnt]=p[i];
}
for (int i=1;i<=cnt;++i){
memset(Mi.v,0,sizeof(ll)*(Mi.k+1));
Mi.k=0,Mi.v[0]=1;
ll ti=1;
for (int j=1;j<=cnt;++j)
if (i!=j){
Mi*=mi[j];
ti=ti*mi[j]%mi[i];
}
Mi*=pro;
ll tmp=0;
for (int j=pro.k;j>=0;--j)
tmp=(tmp*BIT+pro.v[j])%mi[i];
ti=ti*tmp%mi[i];
ti=qpow(ti,mi[i]-2,mi[i]);
Mi*=ti;
Mi*=ai[i];
sum+=Mi;
}
sum.v[0]-=mid;
for (int i=0;sum.v[i]<0;++i)
sum.v[i]+=BIT,sum.v[i+1]--;
if (sum.v[sum.k]==0)
sum.k--;
sum.print();
}
//////////////////
int top[40][N];
int gettop(int num,int x){return top[num][x]==x?x:top[num][x]=gettop(num,top[num][x]);}
void dfs(int k){
if (k>np || p[k]>n>>1){
for (int i=np;i>=k;--i){
for (int j=0;j<n;++j)
if ((j-p[i]>=0 || j+p[i]<n) && j%2!=a[1] && gettop(k-1,j)==j){
if (j-p[i]>=0)
top[k-1][gettop(k-1,j)]=gettop(k-1,j-p[i]);
else if (j<gettop(k-1,j+p[i]))
top[k-1][gettop(k-1,j+p[i])]=gettop(k-1,j);
else
top[k-1][gettop(k-1,j)]=gettop(k-1,j+p[i]);
a[i]=j%p[i];
a[i]=(a[i]?p[i]-a[i]:0);
break;
}
}
for (int i=0;i<n;++i)
if (gettop(k-1,i)!=0)
return;
calc(0);
exit(0);
}
for (int i=0;i<p[k];++i){
memcpy(top[k],top[k-1],sizeof(int)*n);
a[k]=(i?p[k]-i:0);
for (int j=i;j+p[k]<n;j+=p[k]){
int x=gettop(k,j),y=gettop(k,j+p[k]);
if (x>y)
swap(x,y);
top[k][y]=x;
}
dfs(k+1);
}
}
////////////////
int main(){
freopen("teleports.in","r",stdin);
freopen("teleports.out","w",stdout);
scanf("%d",&n);
if (n==1){
printf("1\n");
return 0;
}
if (n<17){
printf("No solution\n");
return 0;
}
for (int i=2;i<n;++i){
if (!inp[i])
p[++np]=i;
for (int j=1;j<=np && i*p[j]<n;++j){
inp[i*p[j]]=1;
if (i%p[j]==0)
break;
}
}
if (n<32){
for (int i=0;i<n;++i)
top[0][i]=i;
dfs(1);
return 0;
}
int mid=n/2,used;
for (int i=1;i<=np && p[i]<=mid;++i)
a[i]=0,used=i;
a[used]=(-1+p[used])%p[used];
a[used-1]=1;
for (int i=0;i<n;++i)
dsu[i]=i;
for (int i=1;i<=used;++i){
int tmp=getdsu(mid+a[i]-p[i]);
for (int j=mid+a[i];j<n;j+=p[i])
dsu[getdsu(j)]=tmp;
for (int j=mid+a[i]-p[i]*2;j>=0;j-=p[i])
dsu[getdsu(j)]=tmp;
}
int mai=getdsu(mid);
for (int i=0;i<n;++i)
if (getdsu(i)!=mai){
used++;
a[used]=(i-mid)%p[used];
a[used]=(a[used]<0?a[used]+p[used]:a[used]);
dsu[i]=mai;
}
for (int i=1;i<=np;++i)
a[i]=(a[i]?p[i]-a[i]:0);
calc(mid);
return 0;
}
總結
實踐出真知。