6455. 【GDOI2020模拟02.01】小 D 的交通

题目

给你正整数$n$，让你求任意一个$X$，满足从$X$开始的连续$n$个整数通过以下条件联通：
对于两个数$u$和$v$，假如$u$和$v$不互质，那么它们之间就连上一条边。
$n\leq 100000$
（记得打高精度）

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思考历程

花了半天时间终于把题目换成了一个可以看的模型：
对于所有小于$n$的质数$p_i$，$p_i$的所有倍数（形如$X+i$）都连在一起。
题目的条件是$X+i \equiv X+j \equiv 0 (\mod p_i)$
简单推一下就是$i\equiv j \equiv -X(\mod p_i)$
（接下来为了方便，我直接将$-X$变成$X$）
于是就有了更好看的模型：对于数列$0..n-1$，对于每个质数$p_i$，钦定一个数$a_i$，表示所有满足$x\equiv a_i (\mod p_i)$的都连在一起。
至于$X$，做中国剩余定理就可以求出来了。
现在的问题时怎么构造，而我不会……
所以就暴力构造，如果合法就用中国剩余定理求。
得分和纯暴力没有什么两样。

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正解

先说一说一个更加优美些的暴力该怎么做。
对于某个大于$\frac{n}{2}$的质数$p_i$，很显然它只能连接两个点。
由于考虑$p_1$（也就是$2$）的时候就已经将距离为偶数的点连起来了，所以对于某个奇素数$p_i$连向了某个数$x$，如果它没有在$p_1$的时候被连到，那么它连向的$x+p_i$（或$x-p_i$）一定在$p_1$的时候被连到了（因为$p_i$为奇数）
所以，在暴力了$\frac{n}{2}$之前的质数之后，剩余的质数贪心地去捡漏就好了。
题解说这样可以过掉$n\leq 40$，但实测出只能过$n\leq 31$。

接下来就是题解的奇妙构造大法。
考虑假如我们把第一个点（也就是$0$）作为核心点（就是$a_i\equiv 0 (\mod p_i)$），就会发现除了第二个点（$1$）之外，其它的点都会被接上。
于是我们考虑怎么让它被连到。
然而在这个情况下，已经没有素数供我们使用了。
考虑将核心点放在中间（记为$mid$），容易发现只有$mid-1$和$mid+1$没有被连上。
找到最大的小于$\frac{n}{2}$的两个素数，分别将$mid-1$和$mid+1$连上。
由于这两个素数被侵占了，所以会多出几个位置没有连上。
$\frac{n}{2}$以上的素数我们还没有用过，那就随便连连即可。
接下来有个问题：有没有可能素数不够用？？
实践表明，有这种情况……在$n\leq 31$的时候还是自己跑暴力吧。
不过更大的数，似乎都可以（这就要靠实践了……）
我猜想$n>31$都可以用这个方式构造出来，但是不会证。
如果能证的话，GMH大爷提供了一条定理，可以参考一下：
伯特兰-切比雪夫定理

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代码

SRC Download 
using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#define N 100010
#define ll long long
ll qpow(ll x,int y,int mo){
	ll res=1;
	for (;y;y>>=1,x=x*x%mo)
		if (y&1)
			res=res*x%mo;
	return res;
}
int n;
int p[N],np;
bool inp[N];
int a[N];
int dsu[N];
int getdsu(int x){return dsu[x]==x?x:dsu[x]=getdsu(dsu[x]);}
#define BIT 1000000
struct Bigint{
	int k;
	ll v[N];
	void print(){
		printf("%lld",v[k]);
		for (int i=k-1;i>=0;--i)
			printf("%06lld",v[i]);
	}
};
inline void operator+=(Bigint &A,Bigint &B){
	for (int i=0;i<=A.k || i<=B.k;++i){
		A.v[i]+=B.v[i];
		A.v[i+1]+=A.v[i]/BIT;
		A.v[i]%=BIT;
	}
	A.k=max(A.k,B.k);
	if (A.v[A.k+1])
		A.k++;
}
inline void operator*=(Bigint &A,int x){
	for (int i=0;i<=A.k;++i)
		A.v[i]*=x;
	for (int i=0;i<=A.k;++i){
		A.v[i+1]+=A.v[i]/BIT;
		A.v[i]%=BIT;
	}
	if (A.v[A.k+1])
		A.k++;
}
inline void operator*=(Bigint &A,Bigint &B){
	static Bigint C;
	memset(C.v,0,sizeof(ll)*(A.k+B.k+1+1));
	for (int i=0;i<=A.k;++i)
		for (int j=0;j<=B.k;++j)
			C.v[i+j]+=A.v[i]*B.v[j];
	for (int i=0;i<=A.k+B.k;++i){
		C.v[i+1]+=C.v[i]/BIT;
		C.v[i]%=BIT;
	}
	C.k=A.k+B.k;
	if (C.v[C.k+1])
		C.k++;
	A.k=C.k;
	memcpy(A.v,C.v,sizeof(ll)*(C.k+1));
}
Bigint pro,sum,Mi;
int cnt,ai[N],mi[N];
void calc(int mid){
	pro.k=0;
	pro.v[0]=1;
	for (int i=1;i<=np;++i)
		if (a[i]==0)
			pro*=p[i];
		else{
			++cnt;
			ai[cnt]=a[i];
			mi[cnt]=p[i];
		}
	for (int i=1;i<=cnt;++i){
		memset(Mi.v,0,sizeof(ll)*(Mi.k+1));
		Mi.k=0,Mi.v[0]=1;
		ll ti=1;
		for (int j=1;j<=cnt;++j)
			if (i!=j){
				Mi*=mi[j];
				ti=ti*mi[j]%mi[i];
			}
		Mi*=pro;
		ll tmp=0;
		for (int j=pro.k;j>=0;--j)
			tmp=(tmp*BIT+pro.v[j])%mi[i];
		ti=ti*tmp%mi[i];
		ti=qpow(ti,mi[i]-2,mi[i]);
		Mi*=ti;
		Mi*=ai[i];
		sum+=Mi;
	}
	sum.v[0]-=mid;
	for (int i=0;sum.v[i]<0;++i)
		sum.v[i]+=BIT,sum.v[i+1]--;
	if (sum.v[sum.k]==0)
		sum.k--;
	sum.print();
}
//////////////////
int top[40][N];
int gettop(int num,int x){return top[num][x]==x?x:top[num][x]=gettop(num,top[num][x]);}
void dfs(int k){
	if (k>np || p[k]>n>>1){
		for (int i=np;i>=k;--i){
			for (int j=0;j<n;++j)
				if ((j-p[i]>=0 || j+p[i]<n) && j%2!=a[1] && gettop(k-1,j)==j){
					if (j-p[i]>=0)
						top[k-1][gettop(k-1,j)]=gettop(k-1,j-p[i]);
					else if (j<gettop(k-1,j+p[i]))
						top[k-1][gettop(k-1,j+p[i])]=gettop(k-1,j);
					else
						top[k-1][gettop(k-1,j)]=gettop(k-1,j+p[i]);
					a[i]=j%p[i];
					a[i]=(a[i]?p[i]-a[i]:0);
					break;
				}
		}
		for (int i=0;i<n;++i)
			if (gettop(k-1,i)!=0)
				return;
		calc(0);
		exit(0);
	}
	for (int i=0;i<p[k];++i){
		memcpy(top[k],top[k-1],sizeof(int)*n);
		a[k]=(i?p[k]-i:0);
		for (int j=i;j+p[k]<n;j+=p[k]){
			int x=gettop(k,j),y=gettop(k,j+p[k]);
			if (x>y)
				swap(x,y);
			top[k][y]=x;
		}
		dfs(k+1);
	}
}
////////////////
int main(){
	freopen("teleports.in","r",stdin);
	freopen("teleports.out","w",stdout);
	scanf("%d",&n);
	if (n==1){
		printf("1\n");
		return 0;
	}
	if (n<17){
		printf("No solution\n");
		return 0;
	}
	for (int i=2;i<n;++i){
		if (!inp[i])
			p[++np]=i;
		for (int j=1;j<=np && i*p[j]<n;++j){
			inp[i*p[j]]=1;
			if (i%p[j]==0)
				break;
		}
	}
	if (n<32){
		for (int i=0;i<n;++i)
			top[0][i]=i;
		dfs(1);
		return 0;
	}
	int mid=n/2,used;
	for (int i=1;i<=np && p[i]<=mid;++i)
		a[i]=0,used=i;
	a[used]=(-1+p[used])%p[used];
	a[used-1]=1;
	for (int i=0;i<n;++i)
		dsu[i]=i;
	for (int i=1;i<=used;++i){
		int tmp=getdsu(mid+a[i]-p[i]);
		for (int j=mid+a[i];j<n;j+=p[i])
			dsu[getdsu(j)]=tmp;
		for (int j=mid+a[i]-p[i]*2;j>=0;j-=p[i])
			dsu[getdsu(j)]=tmp;	
	}
	int mai=getdsu(mid);
	for (int i=0;i<n;++i)
		if (getdsu(i)!=mai){
			used++;
			a[used]=(i-mid)%p[used];
			a[used]=(a[used]<0?a[used]+p[used]:a[used]);
			dsu[i]=mai;
		}
	for (int i=1;i<=np;++i)
		a[i]=(a[i]?p[i]-a[i]:0);
	calc(mid);
	return 0;
}

---

总结

实践出真知。