偏相關係數

在多元相關分析中，簡單相關係數可能不能夠真實的反映出變量X和Y之間的相關性，因爲變量之間的關係很複雜，它們可能受到不止一個變量的影響。這個時候偏相關係數是一個更好的選擇。

偏相關係數是在排除了其他變量的影響下計算變量間的相關係數。假設我們需要計算X和Y之間的相關性，Z代表其他所有的變量，X和Y的偏相關係數可以認爲是X和Z線性迴歸得到的殘差Rx與Y和Z線性迴歸得到的殘差Ry之間的簡單相關係數，即pearson相關係數。

偏相關係數的計算可以有下面的三種方法（詳細的計算方法見參考文章）
1 根據上面的說法，從線性迴歸的角度計算變量間的偏相關係數，但是這樣做很麻煩。
2 迭代法，可以認爲簡單相關係數爲0階偏相關係數，任何n階偏相關都可以通過3個(n-1)階偏相關係數計算出來。
3 相關矩陣求逆法，即首先計算出所有變量的相關性矩陣，然後求它的逆矩陣。這樣可以求出任何兩兩變量之間的偏相關係數。

偏相關係數的檢驗可以有兩種方法。一種是t-test，另外一種fisher 轉化法。

R中偏相關係數的計算
corpcor包中提供了相關函數計算偏相關係數，有兩種方式：
1 函數cor2pcor(). 它以數據矩陣X的相關矩陣cor(x)作爲輸入，計算出兩兩的偏相關係數；
2 pcor.shrink(). 它以X作爲輸入，得到兩兩的偏相關係數矩陣；它計算得到的偏相關係數矩陣和cor2pcor()給出的結果大體上相同，但是還是有一些出入。它是用shrinkage estimates的方法計算偏相關係數.


參考文章
partial correlation. http://en.wikipedia.org/wiki/Partial_correlation