【BZOJ1060】[ZJOI2007] 時態同步（樹形DP）

點此看題面

大致題意： 給你一棵帶權樹，每次使用道具可以將某條邊的邊權加$1$，問你至少需要使用多少次道具，才能使每個葉子節點到根節點的距離相等。

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貪心的思想

首先，我們應該先有一個貪心的思想。

不難發現，如果要將以$x$爲根節點的子樹內的所有邊權加上$val$，不如直接將$x$到$fa_x$的邊權加上$val$更優。

這樣一來就有一個基本思路：對於以$x$爲根節點的子樹，我們只需用最少的道具使每個葉節點到$x$的距離相等即可。

那麼就可以用上 樹形$DP$ 了。

$Link$

樹形$DP$ 詳見博客 動態規劃專題（二）——樹形DP

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核心過程

下面稍微講一下$DP$的核心轉移過程。

我們可以用$f_{i}$來表示使以$i$爲根節點的子樹的所有葉節點到$i$的距離相等所用的最少道具次數，用$g_i$來表示此時所有葉節點到$i$的距離，並用一個變量$tot$記錄當前已操作了幾個葉節點。

則對於$i$的一個子節點$son$，若$i$與$son$之間的邊權爲$val$，則無非有以下兩種情況：

• $g_{son}+val>g_i$。對於這種情況，就說明之前操作過的$tot$個節點到$i$的距離全部偏小了，因此將$f_i$加上$tot*(g_{son}+val-g_{i})$，並將$g_i$更新爲$g_{son}$。
• $g_{son}+val≤g_i$。對於這種情況，我們只需將$f_i$加上$g_i-g_{son}-val$即可。

還有一個細節，就是注意每次要將$f_i$加上$f_{son}$！（不過我相信這麼智障的錯誤除了我沒人會犯）

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代碼

#include<bits/stdc++.h>
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define uint unsigned int
#define LL long long
#define ull unsigned long long
#define swap(x,y) (x^=y,y^=x,x^=y)
#define abs(x) ((x)<0?-(x):(x))
#define INF 1e9
#define Inc(x,y) ((x+=(y))>=MOD&&(x-=MOD))
#define ten(x) (((x)<<3)+((x)<<1))
#define N 500000
#define add(x,y,z) (e[++ee].nxt=lnk[x],++deg[e[lnk[x]=ee].to=y],e[ee].val=z) 
using namespace std;
int n,rt,ee=0,lnk[N+5],deg[N+5];
struct edge
{
	int to,nxt,val;
}e[2*N+5];
class FIO
{
	private:
		#define Fsize 100000
		#define tc() (FinNow==FinEnd&&(FinEnd=(FinNow=Fin)+fread(Fin,1,Fsize,stdin),FinNow==FinEnd)?EOF:*FinNow++)
		#define pc(ch) (FoutSize<Fsize?Fout[FoutSize++]=ch:(fwrite(Fout,1,FoutSize,stdout),Fout[(FoutSize=0)++]=ch))
		int f,FoutSize,OutputTop;char ch,Fin[Fsize],*FinNow,*FinEnd,Fout[Fsize],OutputStack[Fsize];
	public:
		FIO() {FinNow=FinEnd=Fin;}
		inline void read(int &x) {x=0,f=1;while(!isdigit(ch=tc())) f=ch^'-'?1:-1;while(x=ten(x)+(ch&15),isdigit(ch=tc()));x*=f;}
		inline void read_char(char &x) {while(isspace(x=tc()));}
		inline void read_string(string &x) {x="";while(isspace(ch=tc()));while(x+=ch,!isspace(ch=tc())) if(!~ch) return;}
		inline void write(LL x) {if(!x) return (void)pc('0');if(x<0) pc('-'),x=-x;while(x) OutputStack[++OutputTop]=x%10+48,x/=10;while(OutputTop) pc(OutputStack[OutputTop]),--OutputTop;}
		inline void write_char(char x) {pc(x);}
		inline void write_string(string x) {register int i,len=x.length();for(i=0;i<len;++i) pc(x[i]);}
		inline void end() {fwrite(Fout,1,FoutSize,stdout);}
}F;
class Class_TreeDP//樹形DP
{
	private:
		LL f[N+5],g[N+5];//f[i]表示使以i爲根節點的子樹的所有葉節點到i的距離相等所用的最少道具次數，g[i]表示此時所有葉節點到i的距離
		inline void DP(int x,int lst)
		{
			for(register int i=lnk[x],tot=0;i;i=e[i].nxt)//變量tot記錄當前已操作了幾個葉節點
			{
				if(!(e[i].to^lst)) continue;
				DP(e[i].to,x),f[x]+=f[e[i].to];//對該子節點進行DP，並將f[x]加上f[e[i].to]
				if(g[e[i].to]+e[i].val>g[x]) f[x]+=1LL*tot*(g[e[i].to]+e[i].val-g[x]),g[x]=g[e[i].to]+e[i].val;//如果g[e[i].to]+e[i].val，就說明之前操作過的tot個節點到i的距離全部偏小了
				else f[x]+=1LL*g[x]-g[e[i].to]-e[i].val;//否則，直接將f[x]加上g[x]-g[e[i].to]-e[i].val即可。
				++tot;//將tot加1
			}
		}
	public:
		inline LL GetAns() {return (void)(DP(rt,0)),f[rt];} 
}TreeDP; 
int main()
{
    register int i,x,y,z;
    for(F.read(n),F.read(rt),i=1;i<n;++i) F.read(x),F.read(y),F.read(z),add(x,y,z),add(y,x,z);
    return F.write(TreeDP.GetAns()),F.end(),0;
}