轉載一篇文章，學習哈歐拉函數。。。
歐拉函數的定義:E(k)=([1,n-1]中與n互質的整數個數).
因爲任意正整數都可以唯一表示成如下形式:
k=p1^a1*p2^a2*……*pi^ai;(即分解質因數形式)
可以推出:E(k)=(p1-1)(p2-1)……(pi-1)*(p1^(a1-1))(p2^(a2-1))……(pi^(ai-1))
=k*(p1-1)(p2-1)……(pi-1)/(p1*p2*……pi);
=k*(1-1/p1)*(1-1/p2)....(1-1/pk)
ps：在程序中利用歐拉函數如下性質，可以快速求出歐拉函數的值(a爲N的質因素)
若(N%a==0 && (N/a)%a==0) 則有:E(N)=E(N/a)*a;
若(N%a==0 && (N/a)%a!=0) 則有:E(N)=E(N/a)*(a-1);
http://hi.baidu.com/ldante/blog/item/996b0ea131a7a58f46106443.html
第一次寫歐拉函數的題，琢磨的半天，最後還是隻能按照最開始的想法寫......
歐拉函數PHI(n)表示的是比n小，並且與n互質的正整數的個數(包括1)。比如：
PHI(1) = 1; PHI(2) = 1; PHI(3) = 2; PHI(4) = 2; ... PHI(9) = 6; ...
要計算一個正整數n的歐拉函數的方法如下：
1. 將n表示成素數的乘積: n = p1 ^ k1 * p2 ^ k2 * ... * pn ^ kn（這裏p1, p2, ..., pn是素數）
2. PHI(n) = (p1 ^ k1 - p1 ^ (k1 - 1)) * (p2 ^ k2 - p2 ^ (k2 - 1)) * ... *(pn ^ kn - pn ^ (kn - 1))
= Mult { pi ^ ki - pi ^ (ki -1) }
證明過程如下：
1. 容易想到：當n爲素數時，PHI(n) = n - 1。因爲每個比n小的正整數都和n互素。當n爲素數p的k次方時，PHI(n) = p ^ k - p ^ (k - 1)。因爲在1到n之間的正整數只有p的倍數和n不互素，這樣的數有(p ^ k / p)個。
2. 如果m和n互素，即GCD(m, n) = 1，那麼PHI(m * n) = PHI(m) * PHI(n)。用中國剩餘定理可以證明，證明的思路是建立這樣一種一一對應的關係(a, b) <-> x，其中正整數a小於m並且gcd(a, m) = 1，正整數b小於n並且gcd(b, n) = 1，正整數x小於m*n並且gcd(m*n, x) = 1。證明過程如下：
1)根據中國剩餘定理，如果m和n互素，那麼關於未知量x的方程組x % m = a, x % n = b(0 <= a < m, 0 <= b < n)，當0 <= x < m * n時存在並且僅存在一個解。容易證明，如果兩個這樣的方程組有相同的m, n但是a, b不同，那麼他們的解x一定不同。
2)首先用反正法證明：gcd(m, a) = 1且gcd(n, b) = 1是gcd(m*n, x) = 1的必要條件：假設gcd(a, m) = k > 1，由此可得：a = a' * k; m = m' * k => x = k' * m + a = k' * k * m' + k * a' = k * (k' * m' + a'); 所以gcd(x, m) = k > 1。同理可證，如果gcd(b, n) > 1， 那麼gcd(x, n) > 1。所以x和m * n互素的必要條件是a和m互訴且b和n互素。
3)接下來我們證明充分性：由x % m = a 可以得到x = k * m + a；由歐幾里德算法求最大公約數的過程（就不證明了，呵呵，還得想）可以知道gcd(x, m) = gcd(m, a) = 1；同理可得，如果gcd(n, b) = 1那麼gcd(x, n) = 1。接下來很容易得到：gcd(m*n, x) = 1。從而證明了充分性。
4)上面三步的結論表明，數對(a, b)是可以和x建立起一一對應的關係的，所以有多少個不同的(a, b)，就有多少個不同的x。
3.將n分解成素數乘積後，顯然對於任意的i, j(i != j)都滿足 pi ^ ki和pj ^ kj是互素的，於是可以的到上面的公式。
跟據上面的公式，可以得到關於歐拉函數的遞推關係：
假設素數p能整除n，那麼
如果p還能整除n / p, PHI(n) = PHI(n / p) * p;
如果p不能整除n / p, PHI(n) = PHI(n / p) * (p - 1);
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下面是兩種求歐拉函數的不同編程方法：
/*==================================================*\
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