Pólya定理初探

Pólya定理初探

Pólya原理是組合數學中，用來計算全部互異的組合狀態的個數的一個十分高效、簡便的工具。

在介紹polya定理之前，先介紹幾個概念

      羣：給定一個集合G={a,b,c,…}和集合G上的二元運算，並滿足:
(a) 封閉性："a,bÎG, $cÎG,a＊b=c。
(b) 結合律："a,b,cÎG, (a＊b)＊c=a＊(b＊c)。
(c) 單位元：$eÎG,"aÎG, a＊e=e＊a=a。
(d) 逆元："aÎG,$bÎG, a＊b=b＊a=e，記b=a-1。
則稱集合G在運算＊之下是一個羣，簡稱G是羣。一般a＊b簡寫爲ab。          

       置換：n個元素1,2,…,n之間的一個置換 表示1被1到n中的某個數a1取代，2被1到n中的某個數a2取代，直到n被1到n中的某個數an取代，且a1,a2,…,an互不相同。

       置換羣：置換羣的元素是置換，運算是置換的連接。 

       循環：記 
稱爲n階循環。每個置換都可以寫若干互不相交的循環的乘積，兩個循環(a1a2…an)和(b1b2…bn)互不相交是指ai!=bj, i,j=1,2,…,n。例如：

這樣的表示是唯一的。置換的循環節數是上述表示中循環的個數。例如(13)(25)(4)的循環節數爲3。

其實，polya定理是burnside引理的一種特殊情況。。。至於burnside引理，這就不詳細探討了。。。

下面直接給出polya定理的公式：

　  設G是p個對象的一個置換羣，用m種顏色塗染p個對象，則不同染色方案爲：

      L=1/|G|(m^c(g1)+m^c(g2)+...+m^c(gs))

     其中G={g₁,…g_s}   c(g_i )爲置換g_i的循環節數(i=1…s)

     最後 提供幾道關於polya定理的題：

     Poj2409,poj1286,poj2154,poj2888

     當然，這幾道題都是裸題，至於更深入一些的。。。就需要用到burnside引理了。。。

     關於上述四道題的題解，我將在隨後幾天陸續發佈