神炎皇【NOIP2017提高組模擬12.10】

Description

神炎皇烏利亞很喜歡數對，他想找到神奇的數對。
對於一個整數對(a,b)，若滿足a+b<=n且a+b是ab的因子，則成爲神奇的數對。請問這樣的數對共有多少呢？

Input

一行一個整數n。

Output

一行一個整數表示答案，保證不超過64位整數範圍。

Sample Input

21

Sample Output

11

Data Constraint

對於20%的數據n<=1000；
對於40%的數據n<=100000；
對於60%的數據n<=10000000；
對於80%的數據n<=1000000000000；
對於100%的數據n<=100000000000000。

好久沒打，偷個懶。

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解法

首先如果a+b|ab 成立。
我們設gcd(a,b)=k ,則有a′k=a,b′k=b .
得到k(a′+b′)|a′b′d2
即a′+b′|a′b′k。
因爲gcd(a′,b′)=1
所以a′+b′|k
題目有(a′+b′)k<=n.
那麼最大情況下a′+b′<=n√ 。
k就有ni2 種情況。
因爲gcd(a',b')=gcd(a'+b',a')
所以a′和b′又有φ(i) 種

線性篩出phi即可。
時間O(n√) ;

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代碼

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define fo(i,a,b) for(ll i=a;i<=b;i++)
#define ll long long

using namespace std;

const ll maxn=1e7+5;
ll n,phi[maxn],pri[maxn],tot,ans;
bool bz[maxn];

int main()
{
    freopen("uria.in","r",stdin);
    freopen("uria.out","w",stdout);
    scanf("%lld",&n);
    tot=sqrt(n);
    fo(i,2,tot){
        if (!bz[i]) {
            pri[++pri[0]]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        fo(j,1,pri[0]){
            if (i*pri[j]>tot) break;                                                            
            bz[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j]==0){
                phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];
                break;
            }
            else phi[i*pri[j]]=phi[i]*(pri[j]-1);
        }
    }
    fo(i,1,tot){
        ll now=n/(i*i);
        ans+=now*phi[i];
    }
    printf("%lld\n",ans);
}