第一章 集合
1.集合的表示
①使用敘述法 ②使用枚舉法
2.求解冪集
算出給定集合的所有子集組合成一個集合。注意空集是任何集合的子集。
3.證明兩個集合相等A=B
①首先證明A
②其次證明B
x
A
A
A-B={x|x
A
4.判斷元素與集合的關係、集合與集合之間的關係：注意空集是任何集合的子集。
5.計算集合的交、並、差
第二章 命題邏輯
1.命題符號化
先分析自然語言描述的語義，然後用正確的語法加以表示。
“但”，“雖然...但是”對應合取聯結詞。
蘊涵聯結詞的幾種說法：
如果P，則Q；因爲P，所以Q；只要P，就Q；P僅當Q；只有Q，纔有P；除非Q，才P；除非Q，否則┐P
2.判斷自然語言描述中是否是命題
分析是否是能唯一判斷其真假的陳述句。
3.化簡命題公式
利用命題公式的基本等價關係。
4.求析取範式和合取範式
①利用等價公式中的等價關係和蘊涵關係將公式中的
②重複使用德摩根律和雙重否定律可將否定號┐移到各個命題變元的前端，並消去多餘的否定號。
③重複利用分配律，可將公式化成一些合取式的析取，或化成一些析取式的合取。
5.極小項和極大項的編碼問題
每個極小項只有一組成真賦值，因此可用於給極小項編碼，編碼規律爲：命題變元與1對應，命題變元的否定與0對應。
每個極大項只有一組成假賦值，因此可用於給極大項編碼，編碼規律爲：命題變元與0對應，命題變元的否定與1對應。
6.極小項和極大項的性質
任意兩個不同的極小項的合取必爲0；
任意兩個不同的極大項的析取必爲1；
極大項的否定是極小項，極小項的否定是極大項；
所有極小項的析取爲永真公式，所有極大項的合取是永假公式。
7.求主合取範式和主析取範式
等價公式轉換法：
①先求出該公式所對應的析取範式和合取範式
②在析取範式的短語和合取範式的子句中，如果同一命題變元出現多次，則將其化成只出現一次。
③去掉析取範式中所有永假公式的短語和合取範式中所有永真公式的子句，即去掉短語中含有形如┐P
④若析取範式的某一個短語中缺少該命題公式中所規定的命題變元，則加入，用(┐P
若合取範式的某一個子句中缺少該命題公式中所規定的命題變元，則加入，用(┐P
⑤利用冪等律將相同的極小項和極大項合併，根據極小項和極大項的編碼規則，利用交換律進行由小到大的順序調整。
真值表技術：
①從真值表中選出公式的真值結果爲真的所有行，在這樣的每一行中，找到其每一個解釋對應的極小項（利用極小項編碼規則），將這些極小項進行析取就可以得到相應的主析取範式。
②從真值表中選出公式的真值結果爲假的所有行，在這樣的每一行中，找到其每一個解釋對應的極大項（利用極大項編碼規則），將這些極大項進行合取就可以得到相應的主合取範式。
8.判斷命題公式類型（永真公式（重言式）、永假公式（矛盾式）、可滿足公式）或證明給定公式是否是永真公式。
①利用真值表技術，若每一個解釋下，公式都爲真，則爲永真公式。
②利用基本等價關係對公式進行化簡，從而判斷公式的類型。
③將公式化簡成範式來判斷公式的類型：
公式G爲永真公式，則公式G的合取範式中的每個子句至少包含一個命題變元及其否定。
公式G爲永假公式，則公式G的析取範式中的每個短語至少包含一個命題變元及其否定。
④將公式化簡成主範式來判斷公式的類型：
如果命題公式爲永真公式，它的主析取範式包含所有的極小項。
如果命題公式爲永假公式，它的主合取範式包含所有的極大項。
9.判斷兩個公式是否等價
①利用真值表技術判斷兩個公式的真值情況是否一致，一致則等價。
②利用P
③利用等價公式轉換法看是否能轉換到另一個公式。
④將兩個命題公式化成對應的主範式
兩個命題公式等價，則它們對應的主析取範式之間等價，或者它們對應的主合取範式之間等價。
10.命題邏輯的推理理論：證明結論有效性（往往倒推，從結論來考慮整個問題）
①真值表技術：
對所有G1，G2，...，Gn都具有真值1的行，如果在每一個這樣的行中，H也具有真值1，則H是G1，G2，...，Gn的邏輯結果。
對所有H具有真值0的行，如果在每一個這樣的行中，G1,...,Gn中至少有一個公式的真值爲0，則H是G1，...，Gn的邏輯結果。
也就是G1
②直接證明法
可以構造一個描述推理過程的命題公式序列。
若是一個已知的前提，此時使用的是規則P。
若是其中某些前提的結論或中間結論，此時使用的是規則T。
若要證明“P
③間接證明方法
將要證明的結論的否定作爲假設加入到前提集合當中，若能與原有的前提集合一起推導出一個矛盾式（P
④等價公式轉換法
利用等價公式得出G1
11.綜合證明題
給出命題的自然語言描述，要求先進行符號化，然後證明結論的有效性，一般使用前面總結的解題技巧即可完成證明。
第三章 謂詞邏輯（分析構成原子命題的內部成分）
1.謂詞公式的符號化
找出命題中的量詞、個體詞、謂詞。在對一個命題進行符號化之前假定其個體域都是全總個體域，對具體問題的個體域，可用一特性謂詞來表示；
這種特性謂詞在加入命題函數時必定遵循如下原則:
①對於全稱量詞（
②對於存在量詞（
2.判斷謂詞公式中的約束變元和自由變元
主要就是找量詞的轄域。在量詞轄域內的個體變量就是約束變元，反之就是自由變元。
具體來講就是：
①若量詞後有括號，則括號內的子公式就是該量詞的轄域。
②若量詞後無括號，則與量詞鄰接的子公式爲該量詞的轄域。
3.判斷謂詞公式是否是有效公式
一般先用等價關係，從整體上分析給定的謂詞公式，有等價取代的方法將原公式簡化爲一個有效公式的形式。若能斷定是有效公式給出嚴格證明，否則舉出一個反例。
謂詞公式的可判定性：
①謂詞邏輯是不可判定的。
②只含有一元謂詞變項的公式是可判定的。
③如下形式的公式：
(
(
若P中無量詞和其他自由變元時，也是可判定的。
④個體域有窮時的謂詞公式是可判定的。
4.對約束變元的改名和對自由變元的代入
改名規則：
①將量詞中出現的變元以及該量詞轄域中此變量之所有約束出現都用新的個體變元替換。（修改完整）
②新的變元一定要有別於改名轄域中的所有其他變量。（修改後不能再有混淆）
代入規則：
①將公式中出現該自由變元的每一處都用新的個體變元替換。
②新變元不允許在原公式中以任何約束形式出現。也可用個體常量代入。
5.計算謂詞公式的前束範式（量詞都在母式之前的公式）
謂詞邏輯中的任一個公式都可化爲與之等價的前束範式，但前束範式不唯一
求解過程：
①如果公式中有聯結詞“
②反覆運用德摩根律和雙重否定律，直接將“┐”內移到原子謂詞公式的前端；
③使用謂詞的等價關係將所有量詞提到公式的最前端。
6.證明兩個公式之間是等價關係
①完全同命題邏輯中的證明過程，利用已知的一些等價關係，從所給兩個公式中的一個向另一個的表示形式進行推導，或從兩個公式同時進行推導而得到一個相同的公式表示形式，從而證明了兩個給定公式彼此是等價的。
②或者利用公式G
7.謂詞邏輯之間的蘊涵關係的證明
①在推導的過程中，可以引用命題演算中的規則P和規則T；
②如果結論是以條件的形式（或析取形式）給出，還可以使用規則CP；
③爲了在推導過程中消去量詞，可以引用規則US和規則ES；
④當所要求的結論可能被定量時，此時可引用規則UG和規則EG將其量詞加入；
⑤證明時可採取如命題演算中的直接證明方法和間接證明方法；
⑥在推導過程中，對消去量詞的公式或公式中不含量詞的子公式完全可以引用命題演算中基本的等價關係和基本的蘊涵關係
⑦在推導過程中，對含有量詞的公式可以引用謂詞中基本的等價關係和基本的蘊涵關係。
一些難點：
①如果既要使用規則US又要使用規則ES消去公式中的量詞，而且選用的個體是同一個符號，則必須先使用規則ES，再使用US。
②如果一個變量用規則ES消去量詞，則對該變量在添加量詞時，只能使用規則EG，而不能使用規則UG；
如果使用規則US消去量詞，則對該變量在添加量詞時，可使用規則EG和規則UG；
③如果有兩個含有存在量詞的公式，則當用規則ES消去量詞時，不能選用同一個常量符號來取代兩個公式中的變元，而應使用不同的常量符號取代他們；
④在用規則US和規則ES消去量詞時，此量詞必須位於整個公式的最前端；
⑤在添加量詞
注:若公式G中無自由出現的個體變元，則稱爲閉式，閉式是一個命題。