第一章集合

1.集合的表示

①使用敘述法 ②使用枚舉法

2.求解冪集

算出給定集合的所有子集組合成一個集合。注意空集是任何集合的子集。

3.證明兩個集合相等A=B

①首先證明A $\subseteq$ B： $\forall$ x $\in$ A，......，x $\in$ B， $\therefore$ A $\subseteq$ B

②其次證明B $\subseteq$ A： $\forall$ x $\in$ B，......，x $\in$ A， $\therefore$ B $\subseteq$ A

x $\in$ P(A) $\Leftrightarrow$ x $\subseteq$ A

A $\cup$ B={x|x $\in$ A或x $\in$ B}

A $\cap$ B={x|x $\in$ A且x $\in$ B}

A-B={x|x $\in$ A且x $\notin$ B}

A $\tiny \bigoplus$ B={x|(x $\in$ A且x $\notin$ B)或(x $\in$ B且x $\notin$ A)}

4.判斷元素與集合的關係、集合與集合之間的關係：注意空集是任何集合的子集。

5.計算集合的交、並、差

第二章命題邏輯

1.命題符號化

先分析自然語言描述的語義，然後用正確的語法加以表示。

“但”，“雖然...但是”對應合取聯結詞。

蘊涵聯結詞的幾種說法：

如果P，則Q；因爲P，所以Q；只要P，就Q；P僅當Q；只有Q，纔有P；除非Q，才P；除非Q，否則┐P

2.判斷自然語言描述中是否是命題

分析是否是能唯一判斷其真假的陳述句。

3.化簡命題公式

利用命題公式的基本等價關係。

4.求析取範式和合取範式

①利用等價公式中的等價關係和蘊涵關係將公式中的 $\rightarrow$ 、 $\leftrightarrow$ 用聯結詞┐、 $\wedge$ 、 $\vee$ 來取代。

②重複使用德摩根律和雙重否定律可將否定號┐移到各個命題變元的前端，並消去多餘的否定號。

③重複利用分配律，可將公式化成一些合取式的析取，或化成一些析取式的合取。

5.極小項和極大項的編碼問題

每個極小項只有一組成真賦值，因此可用於給極小項編碼，編碼規律爲：命題變元與1對應，命題變元的否定與0對應。

每個極大項只有一組成假賦值，因此可用於給極大項編碼，編碼規律爲：命題變元與0對應，命題變元的否定與1對應。

6.極小項和極大項的性質

任意兩個不同的極小項的合取必爲0；

任意兩個不同的極大項的析取必爲1；

極大項的否定是極小項，極小項的否定是極大項；

所有極小項的析取爲永真公式，所有極大項的合取是永假公式。

7.求主合取範式和主析取範式

等價公式轉換法：

①先求出該公式所對應的析取範式和合取範式

②在析取範式的短語和合取範式的子句中，如果同一命題變元出現多次，則將其化成只出現一次。

③去掉析取範式中所有永假公式的短語和合取範式中所有永真公式的子句，即去掉短語中含有形如┐P $\wedge$ P的子公式和子句中含有形如┐P $\vee$ P的子公式。

④若析取範式的某一個短語中缺少該命題公式中所規定的命題變元，則加入，用(┐P $\vee$ P) $\wedge$ Q=Q，然後分配律展開。

若合取範式的某一個子句中缺少該命題公式中所規定的命題變元，則加入，用(┐P $\wedge$ P) $\vee$ Q=Q，然後分配律展開。

⑤利用冪等律將相同的極小項和極大項合併，根據極小項和極大項的編碼規則，利用交換律進行由小到大的順序調整。

真值表技術：

①從真值表中選出公式的真值結果爲真的所有行，在這樣的每一行中，找到其每一個解釋對應的極小項（利用極小項編碼規則），將這些極小項進行析取就可以得到相應的主析取範式。

②從真值表中選出公式的真值結果爲假的所有行，在這樣的每一行中，找到其每一個解釋對應的極大項（利用極大項編碼規則），將這些極大項進行合取就可以得到相應的主合取範式。

8.判斷命題公式類型（永真公式（重言式）、永假公式（矛盾式）、可滿足公式）或證明給定公式是否是永真公式。

①利用真值表技術，若每一個解釋下，公式都爲真，則爲永真公式。

②利用基本等價關係對公式進行化簡，從而判斷公式的類型。

③將公式化簡成範式來判斷公式的類型：

公式G爲永真公式，則公式G的合取範式中的每個子句至少包含一個命題變元及其否定。

公式G爲永假公式，則公式G的析取範式中的每個短語至少包含一個命題變元及其否定。

④將公式化簡成主範式來判斷公式的類型：

如果命題公式爲永真公式，它的主析取範式包含所有的極小項。

如果命題公式爲永假公式，它的主合取範式包含所有的極大項。

9.判斷兩個公式是否等價

①利用真值表技術判斷兩個公式的真值情況是否一致，一致則等價。

②利用P $\leftrightarrow$ Q是否是永真公式，來判斷公式P、Q是否等價。

③利用等價公式轉換法看是否能轉換到另一個公式。

④將兩個命題公式化成對應的主範式

兩個命題公式等價，則它們對應的主析取範式之間等價，或者它們對應的主合取範式之間等價。

10.命題邏輯的推理理論：證明結論有效性（往往倒推，從結論來考慮整個問題）

①真值表技術：

對所有G1，G2，...，Gn都具有真值1的行，如果在每一個這樣的行中，H也具有真值1，則H是G1，G2，...，Gn的邏輯結果。

對所有H具有真值0的行，如果在每一個這樣的行中，G1,...,Gn中至少有一個公式的真值爲0，則H是G1，...，Gn的邏輯結果。

也就是G1 $\wedge$ G2 $\wedge$ ... $\wedge$ Gn $\rightarrow$ H爲永真公式，則H是G1，...，Gn的邏輯結果。

②直接證明法

可以構造一個描述推理過程的命題公式序列。

若是一個已知的前提，此時使用的是規則P。

若是其中某些前提的結論或中間結論，此時使用的是規則T。

若要證明“P $\rightarrow$ Q”的公式形式，則可將P作爲假設前提，引入到推理過程中作爲附加前提，設法證明公式Q也會出現在推理公式的序列中，此時使用的是規則CP（確實是一對）

③間接證明方法

將要證明的結論的否定作爲假設加入到前提集合當中，若能與原有的前提集合一起推導出一個矛盾式（P $\wedge$ ┐P）來，則說明原結論是有效的，否則原結論是無效的。

④等價公式轉換法

利用等價公式得出G1 $\wedge$ G2 $\wedge$ ... $\wedge$ Gn $\rightarrow$ H爲永真公式，則論斷是有效的。

11.綜合證明題

給出命題的自然語言描述，要求先進行符號化，然後證明結論的有效性，一般使用前面總結的解題技巧即可完成證明。

第三章謂詞邏輯（分析構成原子命題的內部成分）

1.謂詞公式的符號化

找出命題中的量詞、個體詞、謂詞。在對一個命題進行符號化之前假定其個體域都是全總個體域，對具體問題的個體域，可用一特性謂詞來表示；

這種特性謂詞在加入命題函數時必定遵循如下原則:

①對於全稱量詞（ $\forall$ x），刻畫其對應個體域的特性謂詞作爲蘊涵式的前件加入。

②對於存在量詞（ $\exists$ x），刻畫其對應個體域的特性謂詞作爲合取式的合取項加入。

2.判斷謂詞公式中的約束變元和自由變元

主要就是找量詞的轄域。在量詞轄域內的個體變量就是約束變元，反之就是自由變元。

具體來講就是：

①若量詞後有括號，則括號內的子公式就是該量詞的轄域。

②若量詞後無括號，則與量詞鄰接的子公式爲該量詞的轄域。

3.判斷謂詞公式是否是有效公式

一般先用等價關係，從整體上分析給定的謂詞公式，有等價取代的方法將原公式簡化爲一個有效公式的形式。若能斷定是有效公式給出嚴格證明，否則舉出一個反例。

謂詞公式的可判定性：

①謂詞邏輯是不可判定的。

②只含有一元謂詞變項的公式是可判定的。

③如下形式的公式：

( $\forall$ x1)( $\forall$ x2)...( $\forall$ xn)P(x1,x2...,xn)

( $\exists$ x1)( $\exists$ x2)...( $\exists$ xn)P(x1,x2,...,xn)

若P中無量詞和其他自由變元時，也是可判定的。

④個體域有窮時的謂詞公式是可判定的。

4.對約束變元的改名和對自由變元的代入

改名規則：

①將量詞中出現的變元以及該量詞轄域中此變量之所有約束出現都用新的個體變元替換。（修改完整）

②新的變元一定要有別於改名轄域中的所有其他變量。（修改後不能再有混淆）

代入規則：

①將公式中出現該自由變元的每一處都用新的個體變元替換。

②新變元不允許在原公式中以任何約束形式出現。也可用個體常量代入。

5.計算謂詞公式的前束範式（量詞都在母式之前的公式）

謂詞邏輯中的任一個公式都可化爲與之等價的前束範式，但前束範式不唯一

求解過程：

①如果公式中有聯結詞“ $\rightarrow$ ”、“ $\leftrightarrow$ ”，則消去聯結詞“ $\rightarrow$ ”、“ $\leftrightarrow$ ”；

②反覆運用德摩根律和雙重否定律，直接將“┐”內移到原子謂詞公式的前端；

③使用謂詞的等價關係將所有量詞提到公式的最前端。

6.證明兩個公式之間是等價關係

①完全同命題邏輯中的證明過程，利用已知的一些等價關係，從所給兩個公式中的一個向另一個的表示形式進行推導，或從兩個公式同時進行推導而得到一個相同的公式表示形式，從而證明了兩個給定公式彼此是等價的。

②或者利用公式G $\leftrightarrow$ H，證明公式爲有效公式。

7.謂詞邏輯之間的蘊涵關係的證明

①在推導的過程中，可以引用命題演算中的規則P和規則T；

②如果結論是以條件的形式（或析取形式）給出，還可以使用規則CP；

③爲了在推導過程中消去量詞，可以引用規則US和規則ES；

④當所要求的結論可能被定量時，此時可引用規則UG和規則EG將其量詞加入；

⑤證明時可採取如命題演算中的直接證明方法和間接證明方法；

⑥在推導過程中，對消去量詞的公式或公式中不含量詞的子公式完全可以引用命題演算中基本的等價關係和基本的蘊涵關係

⑦在推導過程中，對含有量詞的公式可以引用謂詞中基本的等價關係和基本的蘊涵關係。

一些難點：

①如果既要使用規則US又要使用規則ES消去公式中的量詞，而且選用的個體是同一個符號，則必須先使用規則ES，再使用US。

②如果一個變量用規則ES消去量詞，則對該變量在添加量詞時，只能使用規則EG，而不能使用規則UG；

如果使用規則US消去量詞，則對該變量在添加量詞時，可使用規則EG和規則UG；

③如果有兩個含有存在量詞的公式，則當用規則ES消去量詞時，不能選用同一個常量符號來取代兩個公式中的變元，而應使用不同的常量符號取代他們；

④在用規則US和規則ES消去量詞時，此量詞必須位於整個公式的最前端；

⑤在添加量詞 $\forall$ x、 $\exists$ x時，所選用的x不能在公式G(c)或G(y)中以任何約束出現。

注:若公式G中無自由出現的個體變元，則稱爲閉式，閉式是一個命題。

第四章二元關係（關係是以序偶爲元素的特殊集合）

1.關係性質的判定

①自反性

（1）定義：如果對 $\forall$ x $\in$ A,都有<x,x> $\in$ R,那麼稱R在A上是自反的，R具有自反性。

（2）如果關係R是反自反的，那麼R一定不是自反的。

（3）關係圖法：關係R是自反的當且僅當R的關係圖中每個結點都有自環。

（4）關係矩陣法：關係R是自反的當且僅當R的關係矩陣的主對角線上的元素全爲1.

（5）判定定理：R是自反的 $\Leftrightarrow$ $I_{A}$ $\subseteq$ R

②反自反性

（1）定義：如果對 $\forall$ x $\in$ A,都有<x,x> $\notin$ R,那麼稱R在A上是反自反的，R具有反自反性。

（2）如果關係R是自反的，那麼R一定不是反自反的。

（3）關係圖法：關係R是自反的當且僅當R的關係圖中每個結點沒有自環。

（4）關係矩陣法：關係R是自反的當且僅當R的關係矩陣的主對角線上的元素全爲0.

（5）判定定理：R是反自反的 $\Leftrightarrow$ R $\cap$ $I_{A}$ = $\varnothing$

③對稱性

（1）定義：對 $\forall$ x，y $\in$ A，如果<x,y> $\in$ R，那麼<y,x> $\in$ R,則稱關係R是對稱的，R具有對稱性。

（2）關係圖法：關係R是對稱的當且僅當R的關係圖中，任何一對結點之間，要麼有方向相反的兩條邊，要麼無任何邊。

（3）關係矩陣法：關係R是對稱的當且僅當R的關係矩陣爲對稱矩陣。

（4）判定定理：R是對稱的 $\Leftrightarrow$ R= $R^{-1}$

④反對稱性

（1）定義:對 $\forall$ x，y $\in$ A，如果<x,y> $\in$ R且<y,x> $\in$ R，那麼x=y,則稱關係R是反對稱的，R具有反對稱性。

（2）關係圖法：關係R是反對稱的當且僅當R的關係圖中，任何一對結點之間至多有一條邊。

（3）關係矩陣法：關係R是反對稱的當且僅當R的關係矩陣滿足 $r_{ij}$ $\wedge$ $r_{ji}$ =0，i,j=1,2,...,n，i $\neq$ j。

（4）判定定理：R是反對稱的 $\Leftrightarrow$ R $\cap$ $R^{-1}$ = $I_{A}$

⑤傳遞性

（1）定義：對 $\forall$ x，y，z $\in$ A，如果<x,y> $\in$ R且<y,z> $\in$ R，那麼<x,z> $\in$ R，則稱關係R是傳遞的，R具有傳遞性。

（2）關係圖法：關係R是傳遞的當且僅當在R的關係圖中，任何三個結點x,y,z（可以相同）之間，若從x到y有一條邊存在，從y到z有一條存在，則從x到z一定有一條邊存在。

（3）關係矩陣法：關係R是傳遞的當且僅當在R的關係矩陣中，對 $\forall$ i,j,k $\in$ {1,2,...,n}，若 $r_{ij}$ =1且 $r_{jk}$ =1，必有 $r_{ik}$ =1。

（4）判定定理：R是傳遞的 $\Leftrightarrow$ R $\small \circ$ R=R

2.關係性質的保守性

設R，S是定義在非空集合A上的二元關係，則

①若R，S是自反的，則 $R^{-1}$ ，R $\cup$ S，R $\cap$ S，R $\small \circ$ R也是自反的；

②若R，S是反自反的，則 $R^{-1}$ ，R $\cup$ S，R $\cap$ S，R-S也是反自反的；

③若R，S是對稱的，則 $R^{-1}$ ，R $\cup$ S，R $\cap$ S，R-S也是對稱的；

④若R，S是反對稱的，則 $R^{-1}$ ，R $\cap$ S，R-S也是反對稱的；

⑤若R，S是傳遞的，則 $R^{-1}$ ，R $\cap$ S也是傳遞的。

3.計算關係的交、並、補、差、複合、求逆以及冪運算

關係的交、並、補、差跟集合的運算一致。

關係複合可以用複合定義或者用關係矩陣的布爾積進行運算。

4.運算定律

①笛卡爾積

（1）A $\times$ (B $\cup$ C)=(A $\times$ B) $\cup$ (A $\times$ C)

（2）(B $\cup$ C) $\times$ A=(B $\times$ A) $\cup$ (C $\times$ A)

（3）A $\times$ (B $\cap$ C)=(A $\times$ B) $\cap$ (A $\times$ C)

（4）(B $\cap$ C) $\times$ A=(B $\times$ A) $\cap$ (C $\times$ A)

②複合運算

設A，B，C和D是任意四個非空集合，R是從A到B的關係，S1，S2是從B到C的關係，T是從C到D的關係，則：

（1） $R\circ (S1\cup S2)$ = $(R\circ S1)\cup (R\circ S2)$

（2） $R\circ (S1\cap S2)\subseteq (R\circ S1)\cap (R\circ S2)$

（3） $(S1\cup S2)\circ T=(S1\circ T)\cup (S2\circ T)$

（4） $(S1\cap S2)\circ T\subseteq (S1\circ T)\cap (S2\circ T)$

③逆運算

（1） $(R\circ S)^{-1}$ = $S^{-1}\circ R^{-1}$

（2） $(R\cup S)^{-1}=R^{-1}\cup S^{-1}$

$(R\cap S)^{-1}=R^{-1}\cap S^{-1}$

$(R-S)^{-1}=R^{-1}-S^{-1}$

（3） $(\overline{R})^{-1}=\overline{R^{-1}}$

$(A\times B)^{-1}=B\times A$

（4） $S\subseteq R\Leftrightarrow S^{-1}\subseteq R^{-1}$

④冪運算

$\left | A \right |=n$ ，則

$\bigcup_{i=1}^{\infty }R^{i}=\bigcup_{i=1}^{n}R^{i}$

5.關係閉包的計算

①加入最少的序偶元素，使其具有自反性或對稱性或傳遞性。爲自反閉包r(R)，對稱閉包s(R)，傳遞閉包t(R)。

②利用關係圖進行添加邊，使其具有相應的性質。

在沒有自環的結點處加上自環，可得r(R)的關係圖。

將每條單向邊全部改成雙向邊，可得s(R)的關係圖。

從每個結點出發找到其終點，如果該結點到其終點沒有邊相連，就加上此邊，可得t(R)的關係圖。

③利用定理計算

設R是集合A上的二元關係

（1）r(R)=R $\cup$ $I_{A}$

（2）s(R)=R $\cup R^{-1}$

（3） $\bigcup_{i=1}^{\infty }R^{i}$ ，若 $\left | A \right |=n$ ，則 $t(R)=\bigcup_{i=1}^{n}R^{i}$

6.關係性質的證明，關係運算律的證明

與關係運算有關的證明，通常是證明等式成立或者包含關係成立，因此，可以利用集合相等或集合包含的定義採用“按定義證明方法”證明。

第五章特殊關係

1.給定等價關係，計算其等價類和商集

等價關係：如果關係R是自反的、對稱的、傳遞的，則稱R爲非空集合A上的等價關係。

計算等價類：給定非空集合A上的等價關係R，對每一個A中的元素，將A中與之有關係的元素放在一個集合中，就可以得到該元素生成的等價類。

計算商集：將所有不同的等價類構成集合就得到A關於R的商集。

2.給定集合的劃分（或商集）計算對應的等價關係

集合A上的一個商集A/R實際上對應了集合A的一個劃分。

利用定理求解：給定集合A上的一個劃分π={S1,S2,...,Sn}，則由該劃分確定的關係

R=(S1 $\times$ S1) $\cup$ (S2 $\times$ S2) $\cup$ ... $\cup$ (Sn $\times$ Sn)

是A上的等價關係。

3.證明等價、偏序、全序、良序關係

等價關係：用定義證明自反性、對稱性和傳遞性同時成立。

偏序關係：用定義證明自反性、反對稱性和傳遞性同時成立。

全序關係：首先是偏序關係，然後若對任意x，y $\in$ A，總有x $\leqslant$ y或y $\leqslant$ x，二者必居其一。其中“ $\leqslant$ ”是偏序關係。全序關係的哈斯圖是一條鏈。

良序關係：首先是全序關係，然後說明A的任何一個非空子集都有最小元，則是良序關係。

注：良序關係 $\Rightarrow$ 全序關係 $\Rightarrow$ 偏序關係

有限全序集一定是良序集

4.畫出等價關係的關係圖、偏序關係的哈斯圖

等價關係的關係圖：確保其關係圖每個結點都有自環，兩節點之間有邊則一定有兩條邊，x到y有邊，y到z有邊，則x到z一定有邊。

偏序關係的哈斯圖：首先正確畫出其關係圖，根據關係圖作如下操作：

①取消每個結點的自環（因自反性）

②取消所有由於傳遞性出現的邊，即若x到y有邊，y到z有邊，則去掉x到z這條邊。（因傳遞性）

③重新排列每條邊，使得邊的箭頭方向全部向上，然後去掉這些箭頭。（因反對稱性）

簡化所得爲哈斯圖。

5.尋找偏序關係的8個特殊元素

首先畫出其對應的哈斯圖，根據哈斯圖和特殊元素的定義找出特殊元素。

求最大元、最小元、極大元、極小元：

設<A, $\leqslant$ >是偏序集，B是A上的任何一個子集，若存在元素b $\in$ B，則

（1）B的最大元、最小元、極大元、極小元如果存在，一定在B中。

（2）b是B的最大元 B中所有元素都比b小

（3）b是B的最小元 B中所有元素都比b大

（4）b是B的極大元 B中沒有比b大的元素

（5）b是B的極小元 B中沒有比b小的元素

求上界、上確界、下界、下確界：

（1）子集合B的上下界和上下確界可在集合A中尋找

（2）一個子集合B的上下界不一定存在，如果存在，可以不唯一

（3）一個子集合B的上下確界不一定存在，如果存在，一定唯一

（4）一個子集合B有上（下）確界，一定有上（下）界，反之不然

定理1：

（1）若b是B的最大元 $\Rightarrow$ b是B的極大元、上界、上確界

（2）若b是B的最小元 $\Rightarrow$ b是B的極小元、下界、下確界

（3）若a是B的上界，且a $\in$ B $\Rightarrow$ a是B的最大元

（4）若a是B的下界，且a $\in$ B $\Rightarrow$ a是B的最小元

定理2：

（1）若B存在最大元，則B的最大元是唯一的

（2）若B存在最小元，則B的最小元是唯一的

（3）b是B的最大元 $\Leftrightarrow$ b是B的唯一極大元

（4）b是B的最小元 $\Leftrightarrow$ b是B的唯一極小元

（5）若B存在上確界，則B的上確界是唯一的

（6）若B存在下確界，則B的下確界是唯一的

6.擬序關係（反自反、反對稱性、傳遞性）和偏序關係

R是集合A上的偏序關係，則R- $I_{A}$ 是A上的擬序關係

S是集合A上的擬序關係，則S $\cup I_{A}$ 是A上的偏序關係

第六章函數（特殊關係）

1.對給定的有限集合A和B上的函數，求有多少個不同的函數，多個不同的單滿雙射

如果A的基數爲m，B的基數爲n，對A中的每個元素，在B中都有n中選擇，所以不同的函數個數爲 $n^{m}$

單射：當m=n時，有m！個，當m $\neq$ n時，具體分析。

雙射：n=m，有m！個

2.判斷給定的關係是否是函數

利用定義去判斷

設f是從集合A到B的關係，如果對每個x $\in$ A，都存在唯一的y $\in$ B，使得<x,y> $\in$ f，則關係f爲從A到B的函數。

3.判斷或證明具體函數是單射、滿射、雙射

利用定義去判斷和證明

單射：對 $\forall$ x1，x2 $\in$ A，如果x1 $\neq$ x2，有f(x1) $\neq$ f(x2)，則f是從A到B的單射。

滿射：對 $\forall$ y $\in$ B，一定存在x $\in$ A，使得f(x)=y，則f是從A到B的滿射

雙射：先證單射，再證滿射。

4.函數的複合運算

函數的複合運算的運算次序是從左到右依次計算，與關係的計算順序一致，但是函數的複合運算則是要求前一函數的值域包含與後一含函數的定義域。

對任意x $\in$ A，由 $f\circ g(x)=g(f(x))$

定理1：

設f和g分別是從A到B和從B到C的函數，則

（1）若f，g是滿射，則 $f\circ g$ 也是從A到C的滿射。

（2）若f，g是單射，則 $f\circ g$ 也是從A到C的單射。

（3）若f，g是雙射，則 $f\circ g$ 也是從A到C的雙射。

定理2：

（1）若 $f\circ g$ 是從A到C的滿射，則g是從B到C的滿射。

（2）若 $f\circ g$ 是從A到C的單射，則f是從A到B的單射。

（3）若 $f\circ g$ 是從A到C的雙射，則f是從A到B的單射，g是從B到C的滿射。

5.函數的逆運算

逆函數 $f^{-1}$ 存在當且僅當f是雙射。跟關係的求逆過程一致。

定理1：設f是從A到B的雙射函數，則

（1） $f^{-1}\circ f=I_{B}$ ={<b,b>|b $\in$ B}

（2） $f\circ f^{-1}=I_{A}$ ={<a,a>|a $\in$ A}

（3） $I_{A}\circ f=f\circ I_{B}=f$

若f是從A到B的雙射，則f的逆函數也是從B到A的雙射。

6.置換函數

設A={a1,a2,...,an}是有限集合，從A到A的雙射函數稱爲A上的置換或一個排列。n稱爲置換的階。

$P=\begin{pmatrix} a1 & a2 &a3 & ... &an \\ P(a1)&P(a2) & P(a3) &... &P(an) \end{pmatrix}$

第一行是將集合A中元素按順序列出，第二行是A中的元素對應的函數值。

如果A的基數爲n，則A上不同置換函數的個數就是n！

Discrete mathematics

第一章 集合