二部圖
- 相鄰頂點分別在兩部中
- 無向圖是二部圖當且僅當G中沒有長度爲奇數的迴路
- 匹配：M中任意兩條邊均不相鄰
– 極大匹配：M中再加1條邊就不匹配了
– 最大匹配：邊數最多匹配
– 飽和點：被匹配的點
– 完美匹配：G中所有點都被匹配了 - 二部：頂點分爲V1部、V2部 （V1 <= V2）
- 完備匹配：V1中的點都被匹配了
– Hall定理：
– 對於V1中任意k個頂點至少鄰接V2中k個頂點（充要）
– t條件：
– V1最小度 >= V2最大度（滿足了就完備）
歐拉圖
- 有歐拉回路
- 半歐拉圖：有歐拉通路，沒有歐拉回路
- 經過圖中每條邊僅一次，行遍圖中每個點（有迴路就是歐拉回路，有通路就是歐拉通路）
– 邊 - 無向圖G有歐拉回路，當且僅當G是連通圖且無奇度頂點
– 有歐拉通路，無迴路，當且僅當G是連通圖且恰好有兩個奇度頂點，此時這兩個奇度頂點是歐拉通路的端點 - 有向圖D有歐拉回路，當且僅當D是連通的且每個頂點的入度等於出度
– 有歐拉通路，無歐拉回路，當且僅當D是連通的且只有兩個特殊的頂點的入度不等於出度，其中，一個頂點的入度比出度大1，（此爲通路終點），一個頂點的入度比出度小1，（此爲通路始點）
哈密(爾)頓圖
- 有哈密爾頓迴路
- 半哈密爾頓圖：有哈密爾頓通路，無哈密爾頓迴路
- 經過圖中每個頂點一次且僅一次（哈密爾頓迴路 / 哈密爾頓通路）
– 點 - 沒有充要條件
- 必要條件：（是必滿足，滿足不一定是）
– p(G - V1) <= |V1| 去掉V1後的連通分支數小於V1中頂點數 - 充分條件：（滿足必是，是不一定滿足）
– 任何一對不相鄰的頂點的度數之和都大於等於n - 1 - r >= 2 時，K(r, r)是哈密爾頓圖 （Kr,r 完全二部圖）
– K(r, r + 1)是半哈密爾頓圖 - 基圖中包含Kn，有哈密爾頓通路
- 競賽圖：任意兩個頂點之間恰好有一條有向邊
- 格雷碼：把所有n位0-1字符串排成一個序列，相鄰的兩個以及最後一個和第一個之間只有一位不同
平面圖
- 有平面嵌入
- 平面嵌入：能畫成無交叉的圖
- 平面嵌入的邊將整個平面劃分成若干個區域，稱爲面
- 其中面積無限的面稱爲無限面或外部面，即R0
- 有限的就是有限面或內部面
- 邊界：包圍面的迴路
- 所有面的次數之和等於邊數的2倍
- 極大平面圖：不能再加邊了，再加就交叉了
- 極小非平面子圖：任意刪除一條邊，得平面圖
- 歐拉公式：n - m + r = 2
- n：頂點，m：邊，r：面
– 不連通的話，外部無限面是同一個