給定四邊形四條邊的長度，求面積最大最小值

這是正在上高中的表弟問的一道題，覺得很有意思（但對於高一初學三角函數的學生來說可能難度太大了），這裏記錄下來一些想法，輕噴。

1、問題描述

已知凸四邊形ABCD的四條邊長分別爲a,b,c,d，求四邊形面積的最大值和最小值。

（1）最大值

面積表示爲
$S=\frac{1}{2} a b \sin B+\frac{1}{2} c d \sin D$

即
$2S=a b \sin B+c d \sin D \tag{1}$

另一方面，由余弦定理可得
$x^2=a^2+b^2-2ab\cos B$

$x^2=c^2+d^2-2cd\cos D$

聯立上面兩式消去x可得
$\frac{1}{2} (a^2+b^2-c^2-d^2)=ab\cos B-cd\cos D \tag{2}$

聯立(1)(2)兩式，兩邊分別平方後相加，整理得到：
$4S^2=-\frac{1}{4}(a^2+b^2-c^2-d^2)^2+(a^2b^2+c^2d^2)-2abcd\cos{(B+D)} \tag{3}$

由於 $a,b,c,d$ 都是定值，這裏唯一的可變量是$\cos{(B+D)}$，當$\cos{(B+D)}=-1$ 時，$S$ 取最大值，此時 $B+D=180\degree$,
$4S_{max}^2=-\frac{1}{4}(a^2+b^2-c^2-d^2)^2+(a^2b^2+c^2d^2)+2abcd \tag{4}$

繼續化簡可得
$S_{max}=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)} \tag{5}$

其中$p=\frac{1}{2}(a+b+c+d)$

對於凸四邊形ABCD來說，也有$A+C=180\degree$。這表明此時四邊形ABCD是圓內接四邊形。事實上，最大的四邊形面積總是在凸四邊形的情況下取到，如果有一個凹四邊形的面積被認爲是最大，那麼將大於180度的那個內角向外翻折，得到一個凸四邊形的面積一定比原來的凹四邊形更大（如下圖所示）。

（2）最小值

  如果允許四邊形ABCD是凹四邊形，那麼根據上面求最大值的過程（公式(3)等），比較容易的可以知道，當$B+D=360\degree$ 時，面積S可以取到最小值：
$4S^2=-\frac{1}{4}(a^2+b^2-c^2-d^2)^2+(a^2b^2+c^2d^2)-2abcd\cos{(B+D)} \tag{3}$

$4S_{min}^2=-\frac{1}{4}(a^2+b^2-c^2-d^2)^2+(a^2b^2+c^2d^2)-2abcd \tag{6}$

只是這個時候很可能四邊形是凹四邊形，甚至出現重疊（如正方形）或者交錯（如長方形）的現象，這時面積的定義就會變得模糊。因而只討論凸四邊形的面積最小值是比較可取和有意義的。

  這裏我們轉換一下思維模式，將AC的長度作爲自變量，AC的伸縮的過程中，B和D會隨之變化。由下面兩式
$x^2=a^2+b^2-2ab\cos B$

$x^2=c^2+d^2-2cd\cos D$

我們可以得到第一條性質：

1）隨着x的增大，B和D都在增大

  根據cos函數在[0,2pi]上的單調性（先減後增）可知，x很大或很小都可能導致一個較小的面積值，因此需要分情況討論。

2）x最大的情況——求$\cos{(B+D)}_{x_{max}}$

  隨着x的增大，假設 $a+b<c+d$，那麼x會最先增大至接近 $a+b$ 的數值，這時角B約等於180度，而角D則仍保持小於角B。這時的臨界條件爲：
$min{(a+b,c+d)}=x \tag{7}$

$\cos{D}=\frac{c^2+d^2-x^2}{2cd}>\frac{c^2+d^2-(a+b)^2}{2cd}$

在這種情況的討論下，隨着x的增大，B+D總會在某一個x取值的時刻達到180度，隨後繼續增大，但不會超過360度，我們取B+D=180度時x的值爲x0，那麼在x>x0之後，cos(B+D)是隨着(B+D)遞增的。故有：

$\cos{(B+D)}<\cos{(\pi+D)}=-\cos{D}<-\frac{c^2+d^2-(a+b)^2}{2cd}$

記爲：
$\cos{(B+D)}_{x_{max}}=-\frac{c^2+d^2-(a+b)^2}{2cd}\tag{8}$

如果有 $a+b=c+d$ ，那麼易得 $S_{min}=0$，表示 $S$ 可以無限地接近0，這一點可以拿平行四邊形作爲例子，便可以很容易理解。
 

3）x最小的情況——求$\cos{(B+D)}_{x_{min}}$

  隨着x的減小，不妨假設 $|a-b|<|c-d|$，那麼x會最先減小至接近 $|c-d|$ 的數值，這時角D約等於0度，而角B則仍保持大於角D。同時需要保證ABCD仍爲凸四邊形，不妨假設 $c>d$ ,則可得此時的臨界條件爲——D,A,B三點共線：
$max{(|a-b|,|c-d|)}=x \tag{9}$

$\cos{\angle{DCB}}=\frac{b^2+c^2-(a+d)^2}{2bc}\tag{10}$

則有
$\cos{(B+D)}_{x_{min}}=\cos{(\pi-\angle{DCB})}=-\frac{b^2+c^2-(a+d)^2}{2bc}\tag{11}$

存在性留待證明，但直觀來說一定存在上述D,A,B三點共線的臨界情況。
 

4）合併

最後，比較(8)和(11)，取最大值，代入(3)式，則得到四邊形ABCD面積的下界（無限接近）：
$\cos{(B+D)_{final}}=\max{(\cos{(B+D)}_{x_{max}}, \cos{(B+D)}_{x_{min}})}\tag{12}$

$4S_{lower\_bound}^2=-\frac{1}{4}(a^2+b^2-c^2-d^2)^2+(a^2b^2+c^2d^2)-2abcd\cos{(B+D)_{final}} \tag{13}$