《統計學：從數據到結論》學習筆記(part3)--任何統計量，只要人們覺得合適就可以當成估計量

學習筆記
學習書籍：《統計學：從數據到結論》-吳喜之；
參考書目：《統計學》-賈俊平

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用估計量估計總體參數

我們都知道樣本的函數稱之爲統計量，而用於估計的統計量則被稱爲估計量。由於統計量對於不同的樣本取值不同，所以估計量就是隨機變量，並有其分佈。如果樣本已經得到，把數據帶入後，估計量就有了一個數值，也就不是隨機的了，這個數值就是該估計量的一個實現或取值，也稱爲一個估計值。

點估計和區間估計

這裏介紹兩種估計，一種是點估計，也就是用估計量的實現值來近似相應的總體參數。另一種是區間估計，它是包括估計量在內的一個區間，該區間很有可能包含總體參數。

點估計

任何統計量，只要人們覺得合適就可以當成估計量。我們知道的最常用的估計量就是：樣本均值、樣本標準差等。

那麼什麼是好估計量的標準呢？一種統計量稱爲無偏估計量。所謂無偏性，就是：雖然每個樣本產生的估計量的取值不一定等於參數，但當抽取大量樣本時，那些樣本產生的估計量的均值會接近真正要估計的假定分佈的參數。嚴格來說，如果估計量的數學期望等於欲估計的總體參數，則該估計量稱爲該參數的無偏估計量。因此，無偏性僅僅是非常多次重複抽樣時的一個漸進概念。在無偏估計量中，人們還希望找尋方差最小的估計量，稱爲最小方差無偏估計量，方差小則說明反覆抽樣產生的許多估計值差別不大，因此更加精確。

區間估計

當描述一個人的身高時，我們不會說，某人高180.2cm，而可能會說，某人身高在175 ~ 185之間，這時，我們提供的這個範圍就是某種區間估計。在抽樣調查中，我們也常用到點估計加區間估計的說法。比如：某人的支持率爲80%,誤差爲$\pm 4$ %,置信度爲95%.

這種說法意味着:支持率爲80%是樣本比例作爲總體比例$p$的點估計; 估計範圍在80%$\pm 4$%,即區間爲(76%, 84%); 如果以類似的方式，重複大量抽取樣本，產生的大量區間中，有些會覆蓋真正的總體比例$p$,而有些則不會，但這些區間中大約有95%會覆蓋真正的總體比例。

這樣得到的區間，被稱爲總體比例$p$的置信度爲95%的置信區間，這裏的置信度又稱爲置信水平或置信係數。顯然，置信度又是一個大量重複抽樣時的漸進概念。

在這裏，我們得到的區間(76%, 84%)是固定的，而總體比例$p$也是固定的，只不過未知而已。因此只有兩種可能，要麼這個區間包含總體比例$p$，要麼不總體比例$p$，這當中沒有概率可言。

事實上，置信區間都是由統計量來確定的，依樣本而變，是隨機變量。因此，可以說，構造置信度爲100*(1-$\alpha$)%的隨機區間，以1-$\alpha$的概率覆蓋待估參數，但該區間相應於一個樣本的實現值，就是固定的了，無法知道其是否真正覆蓋需要估計的參數。