例一
Beta分佈是一種描述概率的概率分佈，這句話可能有些繞口，看一個例子：
以拋硬幣爲例，如果硬幣是均勻的，並且正面朝上的概率記爲p（p=0.5），那麼每一次拋硬幣都可以看做是一次伯努利實驗，它服從0-1分佈；
如果我們把硬幣拋了n次，並且想要計算，在這n次當中，硬幣正面朝上的次數的概率，那麼它應該是服從 X~B(n,p) ，即二項分佈。
二項分佈可以看做是多次重複進行伯努利實驗所得到的分佈。
但是，如果假設我們事先並不知道硬幣是否均勻，也就是說正面朝上的概率p是未知的，但顯然 p 仍在[0,1] 區間之間，在這種情況下，比方說我們拋硬幣10000次，其中正面朝上7000次，那麼可以得到 p = 0.7，但是顯然我們並不能肯定p就是0.7，如果我們再進行10000次拋硬幣實驗，可能正面朝上6000次，那麼p就等於0.6了。那麼，在多次重複進行二項分佈的實驗中，我們想要知道p的所有可能取值的概率，這就是一個Beta分佈。（因爲p就是描述正面朝上的概率，而Beta分佈描述的是p的概率，因此稱Beta分佈可以看做是一個概率的概率分佈）
正如二項分佈可以看做是重複進行伯努利實驗所得到的分佈，Beta分佈可以看做是重複進行二項分佈所得到的分佈。
通過例一，你可能已經對Beta分佈有了一個直觀的瞭解，接下來看例二。
例二
在進行例二之前，我們先引入Beta分佈，一般來說，我們可以將Beta分佈記爲Beta(a,b)，其中a是成功的次數，b是失敗的次數。
同時，我們需要知道一些概念，在貝葉斯公式中，有：
這裏的 θ 是未知參數，data是樣本數據，P(θ|data)被稱爲後驗分佈，P(data|θ)被稱爲似然函數，P(θ) 被稱爲先驗分佈，作爲分母的P(data)因爲不涉及到θ，因此可以被視爲常數，不去考慮。
暫時知道這些就可以了。
仍以拋硬幣爲例，假設現在是在進行一場比賽，以拋硬幣得到正面朝上的次數最多的人獲勝。現有甲、乙兩個人蔘賽。
先驗分佈：
在比賽開始之前，我們假設對硬幣朝上的概率一無所知，一無所知就意味着任何概率都是等可能的，Beta(1,1)可以表示這樣的分佈：
甲選手比較正直，他使用的可能是均勻的硬幣，即得到正面或者反面的概率是一樣的，我們可以用Beta(5,5)來表示這樣的分佈：
這裏縱軸的值先不用去理會，我們看橫軸，可以看到p=0.5的概率最大，因爲甲選手使用的是均勻的硬幣。
乙選手善於使詐，他可能使用了作弊的硬幣，也就是說每拋一次硬幣幾乎都會得到正面朝上的結果，我們用Beta(5,1)來表示這樣的分佈：
後驗分佈：
用Beta分佈來模擬硬幣的先驗分佈後，通過貝葉斯估計，得到的後驗分佈依然是Beta分佈。
我們假設甲乙兩選手在比賽中各自拋了3次硬幣，甲選手三次均得到正面朝上，用Beta分佈來表示即：
可以看到圖像的中心右移了，儘管作弊可能性有所增加，但總體還是公平參賽的可能性大。
乙選手拋擲三次硬幣同樣得到三次正面朝上，那麼用Beta分佈表示即：
右移的更加厲害，幾乎已經可以確認乙選手作弊。
通過這個例子，相信你對Beta分佈會有一個更加深刻的認知。
Beta分佈的公式推導
關於Beta函數與伽馬函數之間的關係式的那個推導：
Beta分佈的性質：
共軛分佈與共軛先驗分佈：
Beta分佈是二項分佈的共軛先驗分佈。
參考：