【信號與系統學習筆記】—— 離散傅里葉級數DFS（針對離散時間的週期信號）

一、離散傅里葉級數 DFS 的引入

其實，大家如果已經熟悉了連續時間週期信號的傅里葉級數的表示形式：$x(t) = \sum_{k=-∞}^{+∞}a_ke^{jkω_0t}$
那麼，其實 DFS 就只是直接類比過來就行了。只不過在此之前，我們需要回憶一件事情：

即對於復指數信號 $e^{jωt}$ 和 $e^{jωn}$ 的區別：很明顯，一個是連續時間信號，一個是離散時間信號；對於連續時間的復指數信號而言，他一定是週期的，$ω$ 的取值是隨意的。 但是，對於離散時間信號的復指數信號就不一定了：只有當 $N = \frac{2π}{ω}$ 是正整數的時候，$e^{jωn}$ 纔是周期函數，因此，$ω$ 的取值就不再是任意的了。

我們下面把連續時間的傅里葉級數類比到離散時間週期信號的傅里葉級數，有：$x[n] = \sum_{k = <N>}a_ke^{jk\frac{2π}{N}n}$
這裏，$\frac{2π}{N}$ 對應的就是連續時間裏面的 $ω_0$。那麼 $k = <N>$ 是什麼意思呢？它指的是 $k$ 的取值數量只能是 N 個：比如我的 $k$ 可以取 0，1，2 $\cdots$，N-1這 N 個；當然，也可以是：N，N+1，$\cdots$，2N-1 這 N 個。

也即是說，對於離散時間的傅里葉級數，我們有下面的重要性質（區別於連續時間的FS）：
$a_k = a_{k+N}$
即：離散時間的傅里葉級數是以 N 爲週期的函數，N 恰好是信號 $x[n]$ 的週期

二、DFS 的性質

基本上，連續時間傅里葉級數有的性質，DFS 都會有。下面我們列一個表格記錄一下常用的性質：

性質	序列表示	DFS
線性	$Mx[n] + Ny[n]$	$Ma_k + Nb_k$
時移	$x[n-n_0]$	$a_ke^{-jk\frac{2π}{N}n_0}$
頻移	$e^{jM\frac{2π}{N}n}x[n]$	$a_{k-M}$
反轉	$x[-n]$	$a_{-k}$
共軛	$a^*[n]$	$a_{-k}^*$

但是，還是需要重新強調的是，對於 DFS，其頻譜 $a_k$ 是週期的：$a_k = a_{k+N}$，其中，N 是原信號的週期 N。

三、DFS 與 LTI 系統

這是考試的重點：給一個信號，系統的單位衝激響應，如何計算求得系統的輸出。

還記得我們當初爲什麼使用復指數信號來表示其他信號嗎？就是因爲一個 $e^{jωt}$ 經過一個系統得到的輸出是：$H(jω)e^{jωt}$，現在我們知道了：$H(jω)$ 就是系統的頻率響應，它可以通過下面的方法計算：$H(jω) = \frac{Y(jω)}{X(jω)}$

進一步講，如果我們已知輸入信號爲：$x[n] = \sum_{k = <N>}a_ke^{jk\frac{2π}{N}n}$
那麼，它經過 $h[n]$ 系統得到的輸出就是：$y[n] = \sum_{k = <N>}a_kH(e^{jk\frac{2π}{N}})e^{jk\frac{2π}{N}n}$
對於 $H(e^{jk\frac{2π}{N}})$ 的值，我們只需要看在頻率爲 $k\frac{2π}{N}$ 時，其頻率響應的值即可。

OK,對於 DFS 差不多就是這些，下一篇 $Blog$ 我們將要介紹 離散時間的傅里葉變換 DTFT