2019.11.29 T2【動態規劃】 不等數列（num）

T2

【題目描述】

將$1$到$n$任意排列，然後在排列的每兩個數之間根據他們的大小關係插入$“>”$和$“<”$。問在所有排列中，有多少個排列恰好有$k$個$“<”$。答案對$2012$取模。

【輸入格式】

第一行$2$個整數$n,k$。

【輸出格式】

一個整數表示答案。

【樣例輸入】

5 2

【樣例輸出】

66

【數據範圍】

對於$30$%的數據：$n <= 10$
對於$100$%的數據：$k < n <= 1000$

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思路：
看到這一題，求方案數，那肯定就是動態規劃啦。

假設我們已經把前 $i - 1$ 個數排列好並且已經標號 $>$ 號以及 $<$ 號，這時候我們在增加i這個數，有 $i + 1$ 個位置可以選擇。但有一點需要注意的是，不論插在哪兩個數中間（即不論替換掉哪個不等號），形式都爲$“< i >”$（或$“i >”$或$“< i”$）。

舉個例子，若已有不等數列：$1 < 3 > 2 < 4$

接下來我們插入 $5$ 這個數，則有 $5$ 種情況：

$①5 > 1 < 3 > 2 < 4$
$②1 < 5 > 3 > 2 < 4$
$③1 < 3 < 5 > 2 < 4$
$④1 < 3 > 2 < 5 > 4$
$⑤1 < 3 > 2 < 4 < 5$

然後我想到的就是表示狀態的方法：用$f[i][j]$表示用$1$ ~ $i$組成的不等數列中，$“<”$號數等於$j$的方案數。

接下來思考的就是狀態轉移方程。

首先，我們可以推出$f[i][j]$與$f[i+1][j+1]$的關係，即增加一個小於號有多少種方案。

不難推出，$f[i+1][j+1]+=(i-j)$（原本不等數列大於號的數量加上$1$，即原本符號數$i-1$減去原本小於號數 $j$ 加$1$（若$i+1$在數列最前面），即用$“< i+1 >”$，代替$“>”$，相當於增加一個$“<”$）$*f[i][j]$；

然後推出$f[i][j]$與$f[i+1][j]$的關係，即增加一個大於號有多少種方案。

$f[i+1][j]+=(j+1)$（原本不等數列小於號的數量加上1）$*f[i][j]$。

最後是邊界：$f[2][0]=1(2>1),f[2][1]=1(1<2)$。

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以上就是我自己的思路，附上$100$分代碼：

#include<bits/stdc++.h>
#define N 1000+10
using namespace std;

int mod=2012;
int f[N][N];
int n,k;

int main(){
	memset(f,0,sizeof(f));
	cin>>n>>k;
	f[2][0]=1;f[2][1]=1;
	
	for(int i=2;i<=n;i++)
		for(int j=0;j<i;j++){
			f[i+1][j+1]=(f[i+1][j+1]+(i-j)*f[i][j])%mod;
			f[i+1][j]=(f[i+1][j]+(j+1)*f[i][j])%mod;
		}
		
	cout<<f[n][k];
	return 0;
}

注意模數！

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接下來附上老師提供的題解：

對於$30$% $n<=10$的數據，搜索打表，狀態壓縮動態規劃…

對於$1--n$等類似的排列計數問題，以動態規劃和組合數學$2$種大方向爲基本解決方向。

組合數學在$noip$最難也就到楊輝三角左右，所以這題我從動態規劃展開。

如果此類排列問題在腦中的模型是：“有$n$個格子，填入$1--n$”，那麼相對應的$DP$就不得不記錄哪些數填過了（從左到右填入）或者哪些格子填過了（從小到大填入）。這樣一來就必須要使用狀態壓縮來存儲這些信息，就使得複雜度變得難以接受。

而如果換個模型：“從小到大把數字插入數列”。注意是數列而不是格子，這樣一來就不需要記錄是哪些數字插入了（而只要記錄插入到了第幾個數字），同時不需要記錄每個數字的具體位置，也不需要記錄數字的相對位置，而只需記錄相對關係的數目（對本題而言就是有幾個$“<”$）。

因爲是從小到大插入數字，所以當前插入的數字一定大於所有已經插入的。

藍色是當前插入的數字，如果它插入到$<$關係的$2$個數字之間（或者數列最左端），就會使數列的$<$數量不變，$>$數量$+1$：

類似的，插入到$>$關係的$2$個數字之間（或者數列最右端），數列的$<$數量$+1$，$>$數量不變。

$F[i][j]$表示前$i$個數字構成的數列中，恰有$j$個$‘<’$號的方案數（$‘>’$號就有$i-j-1$個）。

$F[i][j]=F[i-1][j-1]*(i-j)+F[i-1][j]*(j+1)$.

時空複雜度:$O(n^2)$

若打表則時間複雜度爲$O(1)$

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完結撒花！