20200501省選模擬賽 a（概率生成函數+推式子）

 

題解

好題，但是這個解法適用範圍比較窄，也沒有多大的用處    ____by   Freopen

我們先把p數組寫成概率生成函數的形式，設

我們發現x^i的係數表示我們走一步到位置 i 的概率是多少

那麼P^2(x)中x^i的係數就表示我們走2步到位置 i 的概率是多少

我們發現答案的概率生成函數（設爲Q(x)）就是P^n(x)，設

最後我們只需要保留一下前面的0~t項（這裏我們替換一下變量，原題用的x與生成函數用的x重複了）

答案就是

所以我們有了一個暴力的做法——多項式快速冪O(n*t)

可以用NTT優化一下做到O(t*logn)

然而只有40分（話說這部分分也太少了吧）

 

接下來我們就進入開掛模式（也許這是一個數學中的常用套路吧。。）

（求導的鏈式法則）

（乘法的求導）

於是我們就有了

然後把它們展開

由待定係數法可知，左右同次的x的係數是相等的

設s=i+j，則x^s的係數可以表示爲

我們把右邊j=0的那一項單獨提出來

移一下項

換一下求和的範圍

最終得到：

所以

令s=s+1

則

這樣就可以O(k*t)計算q數組了

代碼：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define N 100000005
const int mod=998244353;
int inv[N],f[N],p[105];
int ksm(int x,int y)
{
	int ret=1;
	while(y){
		if(y&1)ret=1ll*ret*x%mod;
		y>>=1;x=1ll*x*x%mod;
	}
	return ret;
}
int main()
{
	int n,k,t,i,j,s=0,ans=0;
	int ip0;
	scanf("%d%d%d",&n,&k,&t);
	for(i=0;i<=k;i++){scanf("%d",&p[i]);s+=p[i];}
	s=ksm(s,mod-2);
	for(i=0;i<=k;i++)p[i]=1ll*p[i]*s%mod;
	ip0=ksm(p[0],mod-2);
	f[0]=ksm(p[0],n);
	ans=-1ll*t*f[0]%mod;
	for(i=1;i<=t;i++){
		if(i==1)inv[i]=1;
		else inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
		int sum=0;
		for(j=1;j<=k&&j<=i;j++)
			sum=(1ll*sum+1ll*(1ll*p[j]*j%mod*n%mod-1ll*p[j]*(i-j)%mod+1ll*mod)%mod*f[i-j])%mod;
		f[i]=1ll*sum*ip0%mod*inv[i]%mod;
		ans=(1ll*ans+1ll*f[i]*(i-t))%mod;
	}
	printf("%d\n",((1ll*ans+1ll*t)%mod+mod)%mod);
}