CF724G Xor-matic Number of the Graph

一、題目

點此看題

二、解法

建議做一做這道題

先考慮一個生成樹，設到根的異或和是$d[u]$，簡單路徑就是$d[u]\oplus d[v]$，我們考慮每一位上的貢獻，就考慮$d[u]\oplus d[v]$第$j$位上的值叫初值，我們考慮線性基怎麼選才能最後得到$1$

其實我們只能枚舉$d[u]$，但我們知道產生初值對應的$d[v]$有多少個，我們來分類討論一波：

• 首先就是$d[u]$那一位是$1$，線性基裏面那一位也有$1$，考慮$v$這個點隨便選，與之對應的線性基就有$2^{cnt-1}$種選法（那一位出現次數是奇數還是偶數，都是這麼多），那麼貢獻是$2^{cnt-1}\times (p-1)\times 2^{j}$，其中$p$是總點數。
• $d[u]$那一位是$1$，線性基裏面那一位沒有$1$，選$v$當前位是$0$（設這個個數爲$y$），則貢獻爲：$2^{cnt}\times y\times 2^j$
• $d[u]$那一位是$0$，線性基裏面那一位有$1$，類比第一種情況。
• $d[u]$那一位是$0$，線性基裏面沒有$1$，類比第二種情況，必須選一個帶有$1$的$v$

時間複雜度$O(n\times 60)$，最後還要除以$2$（點對會被算兩次）

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define int long long
const int jzm = 1e9+7;
const int M = 100005;
int read()
{	
	int x=0,flag=1;char c;
	while((c=getchar())<'0' || c>'9') if(c=='-') flag=-1;
	while(c>='0' && c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
	return x*flag;
}
int n,m,k,tot,cnt,ans,f[M],a[M],d[M],p[70],pw[M];
bool vis[M];
struct edge
{
	int v,c,next;
	edge(int V=0,int C=0,int N=0) : v(V) , c(C) , next(N) {}
}e[4*M];
void ins(int x)
{
	for(int i=60;i>=0;i--)
	{
		if(!(x>>i)) continue;
		if(!p[i]) {p[i]=x;break;}
		x^=p[i];
	}
	if(x) cnt++;
}
void dfs(int u)
{
	vis[u]=1;a[++k]=d[u];
	for(int i=f[u];i;i=e[i].next)
	{
		int v=e[i].v,c=e[i].c;
		if(!vis[v]) {d[v]=d[u]^c;dfs(v);}
		else ins(d[v]^d[u]^c);
	}
}
void calc()
{
	for(int j=60;j>=0;j--)
	{
		int x=0,y=0,fl=0;
		for(int i=1;i<=k;i++)
			if(a[i]&(1ll<<j)) x++;
			else y++;
		for(int i=1;i<=60;i++)
			if(p[i]&(1ll<<j)) fl=1;
		for(int i=1;i<=k;i++)
			if(a[i]&(1ll<<j))
			{
				if(fl) ans=(ans+pw[cnt-1]*(k-1)%jzm*pw[j]%jzm)%jzm;
				else ans=(ans+pw[cnt]*y%jzm*pw[j]%jzm)%jzm;
			}
			else
			{
				if(fl) ans=(ans+pw[cnt-1]*(k-1)%jzm*pw[j]%jzm)%jzm;
				else ans=(ans+pw[cnt]*x%jzm*pw[j]%jzm)%jzm;
			}
	}
}
signed main()
{
	n=read();m=read();
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int u=read(),v=read(),c=read();
		e[++tot]=edge(v,c,f[u]),f[u]=tot;
		e[++tot]=edge(u,c,f[v]),f[v]=tot;
	}
	pw[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		pw[i]=pw[i-1]*2%jzm;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(!vis[i])
		{
			memset(p,0,sizeof p);
			k=cnt=0;
			dfs(i);
			calc();
		}
	int inv=500000004;
	printf("%lld\n",(ans*inv)%jzm);
}