CF388D Fox and Perfect Sets

一、題目

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二、解法

我們考慮用線性基表示$S$，集合$S$還需要一些線性基組合出來的，但是不在線性基內的數，我們就保證線性基的最大值在$n$以內。但是還要保證映射的唯一性，我們把線性基消除成上三角形式，就是如果一個基的最高位有值，那麼其他基就必須$0$，舉個例子（$\text{makedown}$小技巧：二級對齊\begin{alignedat}{2}\end{alignedat}）：
$\begin{alignedat}{2} 1xxx&0xxx&0\\ &1xxx&0\\ &&1 \end{alignedat}$其中$x$可以隨便填，這樣就可以保證一一對應，從兩方面說明：如果基位置不同或者基個數不同，那麼集合肯定不同，如果$x$不同那麼集合也不同。這樣就說明了是唯一映射。

那麼問題變成了求滿足上述條件的線性基個數，可以考慮二進制位$dp$，設$dp[i][j][k]$表示從高到低位，現在到了$i$這一位，$j$爲基的個數，$k$表示$max$是否頂到上界，滿足條件的線性基個數，來討論一波轉移。

Case one：k=0

• 不新加入基，而是修改$x$（含義見上圖），然後我們隨便怎麼填都能滿足條件，因爲當前的$k$已經爲$0$了，轉移：$dp[i-1][j][0]=dp[i][j][0]\times 2^j$
• 新加入基，轉移：$dp[i-1][j+1][0]=dp[i][j][0]$

Case two：k=1

如果$n$在$i-1$上有值的話：

• 使最大值$i-1$位爲$0$，那麼：$dp[i-1][j][0]=x\times dp[i][j][1]$，其中$x$是$i-1$位爲$0$的方案數（如果$j=0$那麼$x=1$，否則$x=2^{j-1}$）
• 使最大值$i-1$位爲$1$，那麼：$dp[i-1][j][1]=y\times dp[i][j][1]$，其中$y$是$i-1$位爲$1$的方案數（如果$j=0$那麼$y=0$，否則$y=2^{j-1}$）
• 加入一個基：$dp[i-1][j+1][1]=dp[i][j][1]$

$otherwise$，只能讓當前位爲$0$：$dp[i-1][j][1]=x\times dp[i][j][1]$

#include <cstdio>
#define int long long
const int jzm = 1e9+7;
int read()
{	
	int x=0,flag=1;char c;
	while((c=getchar())<'0' || c>'9') if(c=='-') flag=-1;
	while(c>='0' && c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
	return x*flag;
}
int n,ans,dp[35][35][2];
int add(int &a,int b)
{
	a=(a+b)%jzm;
}
signed main()
{
	n=read();
	dp[30][0][1]=1;
	for(int i=30;i>0;i--)
		for(int j=0;j<=30;j++)
		{
			add(dp[i-1][j][0],(1<<j)*dp[i][j][0]%jzm);
			add(dp[i-1][j+1][0],dp[i][j][0]);
			int x=j?(1<<j-1):1,y=j?(1<<j-1):0;
			if(n>>(i-1)&1)
			{
				add(dp[i-1][j][0],x*dp[i][j][1]%jzm);
				add(dp[i-1][j][1],y*dp[i][j][1]%jzm);
				add(dp[i-1][j+1][1],dp[i][j][1]);
			}
			else add(dp[i-1][j][1],x*dp[i][j][1]%jzm);
		}
	for(int i=0;i<=30;i++)
		add(ans,dp[0][i][0]),add(ans,dp[0][i][1]);
	printf("%lld\n",ans);
}