多目標函數優化

多目標函數優化

1.定義
所謂優化就是在某種確定規定下，使得個體的性能最優。多目標優化，多於一個的數值目標在給定區域上的最優化問題稱爲多目標優化。
2.解及解的形式
求解多目標優化問題的過程就是尋找Pareto最優解（非劣解、有效解）的過程。即在多目標優化中對某些子目標的優化不能影響到其它子目標的優化而容許的整個多目標的最優解。所謂多目標優化問題的最優解就是指Pareto最優解，且不再包含其他最優解。
3. 求解方法
3.1 產生式方法
如果沒有先驗知識，只能採用產生式方法來檢驗所有的非支配可選解。需要作者從整個Pareto解中做選擇來進行必要的價值判斷。
3.2基於偏好的方法
基於偏好的方法試圖得到妥協解或偏好解。基於偏好的方法能夠用正式和有結構的方式來清晰表達其偏好。
（1）權重和方法：權重可以理解爲目標之間相對重要性或價值，或者對目標的偏好。
（2）效用函數法：效用函數是偏好結果的一種數學表示方法，它將目標空間的點影射爲實數，數越大表明對該點偏好程度越高
（3）妥協函數法：尋找與理想點最接近的解
3.3約束法
4.適應度分配方法
4.1 權重和方法：
權重可以理解爲目標之間相對重要性或價值，或者對目標的偏好。
（優點：通過算中和求得的全局最優解對應Pareto前端的一個解；局部最優解對應局部Pareto最優解；通過改變權值可以搜索到所有凸Pareto解）
（缺點：不能處理非凸的Pareto；很難找到均勻分佈的Pareto解）
4.2矢量評價法（VEGA）
循環過程中根據多個目標選出若干下一代中的優秀個體（即子種羣），然後將整個種羣打亂並執行交叉變異，目的在於不同種羣之間進行信息交流，它保護了單個目標上的最優個體的生存，同時爲那些多於一個目標上好於平均值的個體提供合理被選擇概率。
優點：簡單，適合尋找Pareto front 的端點），
（缺點：很難處理非凸問題）
4.3 Pareto等級法：
根據佔優劃分等級，對個體適應度的分配策略。
（優點：可以快速找到Pareto前端，有效保護種羣多樣性）
（缺點：非支配排序的時間複雜度很大；不支持精英策略；需要自己指定共享參數）
4.4貪婪保護法（SPEA）
在外部羣體中對佔優解進行排序；個體適應度與外部羣體比它性能優的個體數目相關，使用Pareto支配關係保持種羣多樣性，使用聚類方法減少非支配集。
（優點：可處理任意的目標函數，可產生解的分佈，確定了一種無需參數的共享方法）
（缺點：因爲確定了一個外部解集，故計算量大）
5.解的評價指標
5.1多目標優化算法的評級指標通常有以下幾項：逼近性GD(Generational Distance)、均勻性SP(Spacing)、寬廣性EX、最優解數目ER(Error Ratio)、收斂性度量值γγ和多樣性度量值ΔΔ。
（1） 逼近性GD用來描述算法所獲得的非劣最優解與Pareto前端的距離
- 希望算法找到的Pareto 前端與實際的Pareto 前端的距離應儘可能的接近；
（2）均勻性SP用來描述非劣解在Pareto前端上的分佈範圍。
- 希望找到的Pareto 最優解具有較好的分佈（如均勻分佈、正態分佈）；
（3）寬廣性EX用來描述非劣最優解的分佈範圍。
- 希望所找到的Pareto 前端的分佈範圍儘可能的寬廣，即儘可能的覆蓋每個子目標函數的可能取值範圍
（4）收斂性度量值γγ用來衡量一組已知的Pareto最優解集的收斂範圍。
（5）多樣性度量值ΔΔ用來衡量Pareto前端的分佈。
5.2 性能的比較
（1）- 直接比較法：
它比較了兩個非支配集AA 和BB 直接使用標量測度R（A，B）R（A，B），其中描述了A 比B 好多少。如：AA， BB。計算R（A，B）R（A，B）。
優點：與獨立比較相比，計算量低，不需要知道任何帕累託集；
缺點：如果兩套不同的基數和/或集合的分佈是不均勻的，那麼C 的度量提供了不可靠的結果。
（2） - 間接比較法：
它選擇一個參考集，比較兩個非支配集與這個參考集，然後比較結果。如：AA， BB。中間變量爲Pareto，分別和他進行對比。
優點：易於理解、計算量低；
缺點：需要知道Pareto 前端，：度量只適用於有限數量的帕累托最優解。
（3）- 獨立比較法：
它是衡量某些獨立的屬性的每個設置，並比較了這兩種測量結果。如：S(A)S(A)，和S(B)S(B)，再比較它們。
優點：沒有必要知道帕累託或其他參考點使用、它是獨立的、意義直觀；
缺點：需要非常大的計算量，這使得它完全適合於目標或大非大量支配集。