數字電子技術之邏輯代數基礎

布爾與布爾代數
基礎公式
吸收定律
多餘項定律
摩根定律
邏輯運算的優先級
帶入定律
對偶定律
邏輯函數的基本形式

1. 布爾與布爾代數

邏輯代數是由英國數學家喬治布爾首先提出來的,由此也稱爲布爾代數。

後來，美國數學家香農將布爾代數應用於開關矩陣電路中，因而邏輯代數又稱爲開關代數。

在計算機程序語言中，用布爾的名字命名了一種變量形式: Boole型變量，取值爲True (真)、False (假)。

2. 基礎公式

2.1常量與常量之間的邏輯關係

常量與常量之間的與、或、非:

2.2常量與變量之間的邏輯關係

這兩組公式爲對偶關係,名字並不重要

2.3交換律、結合律、分配律

2.4邏輯公式的證明

[例]證明公式: A + BC = (A + B)(A + C)

真值表判定法

公式推導法

(A + B)(A + C) = A + AC + AB + BC = A(1 + C + B) + BC = A + BC

很明顯,公式推導法相比於真值表判定法來說,要更簡單些

3. 吸收定律

吸收定律1、2、3:

AB + A $\overline{\text{B}}$ = A $\cdot$ (B + $\overline{\text{B}}$ )= A $\cdot$ 1 = A
A +AB = A $\cdot$ (1 + B) = A $\cdot$ 1 = A
A + $\overline{\text{A}}$ B = (A + $\overline{\text{A}}$ ) $\cdot$ (A + B) = 1 $\cdot$ (A + B) = A + B

吸收定律1

AB + A $\overline{\text{B}}$ = A --> 消相鄰項

[例]:
(1) F = ABC + A $\overline{\text{B}}$ C = AC
(2) F = AC + BC + $\overline{\text{A + B}}$ C = (A + B)C + $\overline{\text{A + B}}$ C = C
(3) F = ABC $\overline{\text{D}}$ + AB $\overline{\text{C}}$ $\overline{\text{D}}$ = AB $\overline{\text{D}}$

吸收定律2

A +AB = A -->消多餘項

[例]:
(1) F = A + AB + A $\overline{\text{C}}$ + $\overline{\text{A}}$ BC $\overline{\text{D}}$ = A + $\overline{\text{A}}$ BC $\overline{\text{D}}$

吸收定律3

A + $\overline{\text{A}}$ B = A + B -->消多餘因子

[例]:
(1) F = A + $\overline{\text{A}}$ BC $\overline{\text{D}}$ = A + BC $\overline{\text{D}}$
(2) F = A + B + $\overline{\text{A}}$ $\overline{\text{B}}$ CD = A + B + $\overline{\text{B}}$ CD = A + B + CD

這裏也可以推導出 $\overline{\text{A}}$ $\cdot$ $\overline{\text{B}}$ = $\overline{\text{A + B}}$

4. 多餘項定律

[例]:
(1) F = AB + $\overline{\text{B}}$ C + AC + A $\overline{\text{B}}$ C $\overline{\text{D}}$ E = AB + $\overline{\text{B}}$ C --> 消去多餘項AC
(2) F = $\overline{\text{A}}$ BC + A $\overline{\text{B}}$ C + $\overline{\text{A}}$ $\overline{\text{B}}$ D + ABD + CDE

(3) F = B $\overline{\text{C}}$ + $\overline{\text{A}}$ C + A $\overline{\text{C}}$ + $\overline{\text{B}}$ C
這題沒有可以直接消去的項,我們根據後兩項可以加一項,等式仍然成立:
F = B $\overline{\text{C}}$ + $\overline{\text{A}}$ C + A $\overline{\text{C}}$ + $\overline{\text{B}}$ C + A $\overline{\text{B}}$ = B $\overline{\text{C}}$ + $\overline{\text{A}}$ C + A $\overline{\text{B}}$

5. 摩根定律

摩根定律的由來:

證明過程:

摩根定律的推廣一

已知 F = A + B + C + D ,求反函數 $\overline{\text{F}}$

解: $\overline{\text{F}}$ = $\overline{\text{A + B + C + D}}$ = $\overline{\text{A + B}}$ $\cdot$ $\overline{\text{C + D}}$ = $\overline{\text{A}}$ $\cdot$ $\overline{\text{B}}$ $\cdot$ $\overline{\text{C}}$ $\cdot$ $\overline{\text{D}}$