【數字電子技術 Digital Electronic Technology 10】—— 數-模和模-數轉換解題技巧分析

1. D/A轉換器

1.1 權電阻網絡D/A轉換器

這裏我們說明一下：當d = 1時，模擬開關就會接在$V_{REF}$處，當d = 0時，模擬開關就會接地
那麼，我們就可以得到上圖中$i_{\sum}$的表達式：$i_{\sum} = d_0\frac{V_{REF}}{2^3R} + d_1\frac{V_{REF}}{2^2R} + d_2\frac{V_{REF}}{2^2R} + d_3\frac{V_{REF}}{R}$
由模電裏面運放的知識我們可以得到：$\frac{v_0}{R_F} = -i_{\sum} = -(d_0\frac{V_{REF}}{2^3R} + d_1\frac{V_{REF}}{2^2R} + d_2\frac{V_{REF}}{2^2R} + d_3\frac{V_{REF}}{R})$
而$R_F = \frac{R}{2}$，所以上式子又可以化簡爲：$v_0 = -\frac{V_{REF}}{2^4}(d_32^3+d_22^2+d_12^1+d_02^0)$
綜上，我們可以得到n位權電阻型D/A轉換器的輸出電壓表達式：$v_0 = -\frac{V_{REF}}{2^n}D_n\space 【重要！】$
且$v_0$的最大變化範圍是：0~$\frac{2^n-1}{2^n}V_{REF}$
【缺點】：隨着輸入信號的位數變多，它的精度就會變得很低

1.2 倒T型電阻網絡D/A轉換器

首先，我們還是說明一下：當d = 1時，模擬開關接運放的$V_-$，當d = 0時，模擬開關接在運放的$V_+$（即相當於接地），要計算這個電路的$i_{\sum}$可不是一件輕鬆的事情，好在我們的運放有“虛短”的特點，即此時$V_- = V_+ = 0$，因此，計算各個支路電流的等效電路如下：

因此，$i_{\sum} = d_3\frac{I}{2} + d_2\frac{I}{4} + d_1\frac{I}{8} + d_0\frac{I}{16}$
則有：$i_{\sum} = d_3\frac{I}{2} + d_2\frac{I}{4} + d_1\frac{I}{8} + d_0\frac{I}{16} = -\frac{v_0}{R}$

最終，我們化簡得到的輸出電壓的表達式還是下面這個：$v_0 = -\frac{V_{REF}}{2^n}D_n$

2. D/A轉換器的轉換精度和轉換速度：

【1】一個n位的D/A轉換器的分辨率是：$\frac{1}{2^n-1}$
【2】如果已知一個n位D/A轉換器的滿刻度輸出電壓U，那麼，它的分辨率爲：$\frac{U}{2^n -1}$

3. A/D轉換器

A/D轉換一般包括：取樣、保持、量化和編碼四個步驟

3.1 取樣

3.2 量化和編碼

量化方式分爲兩種：1. 只舍不入量化方式 2. 四捨五入量化方式，它們的舉例如下圖所示：
要求將0~1V的電壓的模擬信號轉換成3位二進制代碼：

下面我就來詳細解釋一下這兩種量化方式和誤差分析：
對於圖(a)的量化方式，最小量化單位是$\frac{1}{8}V$，我們把輸入的模擬信號中電壓範圍在0~$\frac{1}{8}V$的電壓都當作0△=0V對待，電壓範圍在$\frac{1}{8}V$ ~ $\frac{2}{8}V$的都當作1△ = $\frac{1}{8}V$對待、、、
那麼，我們想啊，假設我們輸入的模擬信號在某一時刻爲0V時，輸出的數字信號是0，而如果模擬信號是$\frac{1}{8}V$，那麼輸出的數字信號依然是0，這樣一來，就產生了量化誤差，而且，採用圖(a)這種只舍不入的量化方式，量化誤差爲$\frac{1}{8}V$，即△。

下面，我們看看圖(b)這種四捨五入的量化方式：我們同樣是把0~1V的電壓分成8分，但是這次不是簡單地除以8平均分，而是像上圖那樣，取量化電平△ = $\frac{2}{15}V$，那麼，我們就把輸入的模擬電壓中電壓範圍在0 ~ $\frac{1}{15}V$的電壓當作0△ = 0V對待，把電壓範圍在$\frac{1}{15}V$ ~ $\frac{3}{15}V$的電壓當作$\frac{2}{15}V$對待。
那麼，假設某一採樣時刻我們的模擬電壓是$\frac{1}{15}V$，那麼對應的數字電平就是$\frac{2}{15}V$，但是如果模擬電壓是$\frac{3}{15}V$，那麼對應的數字電平也是$\frac{2}{15}V$，這時的誤差就變成了$\frac{2}{15}V - \frac{1}{15}V = \frac{1}{15}V = \frac{1}{2}△V$

3.3 A/D轉換器的電路結構和工作原理

3.3.1 並聯比較型A/D轉換器

基於我們剛剛講的四捨五入量化方式，我們介紹並聯比較型A/D轉換器

上圖也是按照我們剛剛的四捨五入量化方式設置的比較電壓（C是電壓比較器），我們看到：當$0 < v_I < \frac{V_{REF}}{15}$時，全部的電壓比較器都是輸出低電平、當$\frac{V_{REF}}{15} < v_I < \frac{2V_{REF}}{15}$時，只有$C_1$輸出爲1，其餘爲0，以此類推。如果我們現在是需要自己設計那個代碼轉換器，就像上面右圖一樣是一個黑匣子，那麼，我們通過剛剛的分析可以得到代碼轉換器的輸入與輸出的關係：（因爲經過的D觸發器特性方程是$Q^* = D$，因此，沒影響）

那麼，根據真值表就可以寫出代碼轉換器的電路結構了

【重點】：並聯型A/D轉換器的轉換速度極快，只需要經過電壓比較器、觸發器和代碼轉換器的延遲就可以完成轉換。但是也有很大的缺點：就是隨着我們要轉換的二進制代碼的位數n增大，電路結構的複雜度也會急劇增大

【下表是考試重點】：

	速度	複雜度	完成一次轉換所需要的CLK數目
並聯比較型	最快	最複雜	最多2個
計數器型	最慢	最簡單	$2^n + k$
逐次漸進型	比並聯比較型慢一點	適中	n+2

4. 解題技巧歸納：

【題型一】：各種芯片和A/D轉換器結合起來，然後要求畫出輸出電壓的波形
對於這種問題，我們首先需要搞清楚A/D轉換器芯片的輸入量是什麼，然後牢牢按照這個公式：$v_0 = -\frac{V_{REF}}{2^n}D_n$算出不同輸入時對應的輸出電壓$v_0$

【題型二】：要求設計一個電路，能夠產生所給定的電壓波形

【題型三】：一些概念性的計算題
例題1：有一個8位D／A轉換器，設它的滿度輸出電壓爲25．5V，當輸入數字量爲11101101時，輸出電壓爲（）V
解：先計算出8位D/A轉換器所能接受輸入的最大數字量：$2^8 - 1 = 255$，因此，當輸入的數字量是11101101 = $(237)_{10}$時，對應的輸出電壓是：$\frac{237}{255}$x$25.5V$ = 23.7V

例題2：設有一個十位D/A轉換器，它的滿刻度輸出電壓爲102.3V，則它的分辨率爲：
解：$\frac{102.3}{2^{10}-1} = 0.1V$