数字电子技术之逻辑代数基础

布尔与布尔代数
基础公式
吸收定律
多余项定律
摩根定律
逻辑运算的优先级
带入定律
对偶定律
逻辑函数的基本形式

1. 布尔与布尔代数

逻辑代数是由英国数学家乔治布尔首先提出来的,由此也称为布尔代数。

后来，美国数学家香农将布尔代数应用于开关矩阵电路中，因而逻辑代数又称为开关代数。

在计算机程序语言中，用布尔的名字命名了一种变量形式: Boole型变量，取值为True (真)、False (假)。

2. 基础公式

2.1常量与常量之间的逻辑关系

常量与常量之间的与、或、非:

2.2常量与变量之间的逻辑关系

这两组公式为对偶关系,名字并不重要

2.3交换律、结合律、分配律

2.4逻辑公式的证明

[例]证明公式: A + BC = (A + B)(A + C)

真值表判定法

公式推导法

(A + B)(A + C) = A + AC + AB + BC = A(1 + C + B) + BC = A + BC

很明显,公式推导法相比于真值表判定法来说,要更简单些

3. 吸收定律

吸收定律1、2、3:

AB + A $\overline{\text{B}}$ = A $\cdot$ (B + $\overline{\text{B}}$ )= A $\cdot$ 1 = A
A +AB = A $\cdot$ (1 + B) = A $\cdot$ 1 = A
A + $\overline{\text{A}}$ B = (A + $\overline{\text{A}}$ ) $\cdot$ (A + B) = 1 $\cdot$ (A + B) = A + B

吸收定律1

AB + A $\overline{\text{B}}$ = A --> 消相邻项

[例]:
(1) F = ABC + A $\overline{\text{B}}$ C = AC
(2) F = AC + BC + $\overline{\text{A + B}}$ C = (A + B)C + $\overline{\text{A + B}}$ C = C
(3) F = ABC $\overline{\text{D}}$ + AB $\overline{\text{C}}$ $\overline{\text{D}}$ = AB $\overline{\text{D}}$

吸收定律2

A +AB = A -->消多余项

[例]:
(1) F = A + AB + A $\overline{\text{C}}$ + $\overline{\text{A}}$ BC $\overline{\text{D}}$ = A + $\overline{\text{A}}$ BC $\overline{\text{D}}$

吸收定律3

A + $\overline{\text{A}}$ B = A + B -->消多余因子

[例]:
(1) F = A + $\overline{\text{A}}$ BC $\overline{\text{D}}$ = A + BC $\overline{\text{D}}$
(2) F = A + B + $\overline{\text{A}}$ $\overline{\text{B}}$ CD = A + B + $\overline{\text{B}}$ CD = A + B + CD

这里也可以推导出 $\overline{\text{A}}$ $\cdot$ $\overline{\text{B}}$ = $\overline{\text{A + B}}$

4. 多余项定律

[例]:
(1) F = AB + $\overline{\text{B}}$ C + AC + A $\overline{\text{B}}$ C $\overline{\text{D}}$ E = AB + $\overline{\text{B}}$ C --> 消去多余项AC
(2) F = $\overline{\text{A}}$ BC + A $\overline{\text{B}}$ C + $\overline{\text{A}}$ $\overline{\text{B}}$ D + ABD + CDE

(3) F = B $\overline{\text{C}}$ + $\overline{\text{A}}$ C + A $\overline{\text{C}}$ + $\overline{\text{B}}$ C
这题没有可以直接消去的项,我们根据后两项可以加一项,等式仍然成立:
F = B $\overline{\text{C}}$ + $\overline{\text{A}}$ C + A $\overline{\text{C}}$ + $\overline{\text{B}}$ C + A $\overline{\text{B}}$ = B $\overline{\text{C}}$ + $\overline{\text{A}}$ C + A $\overline{\text{B}}$

5. 摩根定律

摩根定律的由来:

证明过程:

摩根定律的推广一

已知 F = A + B + C + D ,求反函数 $\overline{\text{F}}$

解: $\overline{\text{F}}$ = $\overline{\text{A + B + C + D}}$ = $\overline{\text{A + B}}$ $\cdot$ $\overline{\text{C + D}}$ = $\overline{\text{A}}$ $\cdot$ $\overline{\text{B}}$ $\cdot$ $\overline{\text{C}}$ $\cdot$ $\overline{\text{D}}$