[BZOJ2440]完全平方数

题目

传送门 to VJ

题目概要
求这个集合中第 $k$ 小的值：$\big\{x\in\Z\big|\mu(x)\ne 0,x\ne 1\big\}$

数据范围与约定
数据组数 $T\le 50$ ，$k\le 10^9$ 。

思路

其实蛮简单一道题？ 我一开始想，每个质因数的指数不超过 $1$ ，那么最多只需要 $30$ 个质数。于是我把最小的 $30$ 个质数乘起来，发现爆 $long\;long$ 了，以为不可做……

仔细想想，只用前 $30$ 个质数固然可以凑出 $k$ 个数，但是使用其他的质数，也可以得到一些数字，并且比只用前 $30$ 个质数的最大数更小。用一个非常粗略的估计：$x$ 以内的质数个数约为 $\frac{x}{\ln x}$ ，在这个值大于 $10^9$ 的时候，就一定可行了。$x=10^{11}$ 时，已经满足，显然真正的第 $10^9$ 个数会小很多。

既然上界是有限的，就可以进行二分。既然不能含有平方因子，就直接做容斥，$\sum_{p_1\in P}\left\lfloor\frac{n}{p_1^2}\right\rfloor-\sum_{p_1,p_2\in P}\left\lfloor\frac{n}{p_1^2p_2^2}\right\rfloor+\cdots$

就可以用到 $\mu$ 了，可以写成 $\sum_{x=2}^{+\infty}\mu(x)\left\lfloor\frac{n}{x^2}\right\rfloor$

复杂度就是 $\mathcal O(\sqrt{n}\log n)$ ，$n$ 是答案。

代码

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