[BZOJ2693]jzptab

題目

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思路

$ans=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\frac{i\cdot j}{\gcd(i,j)}$

令

$F(x,y)=\sum_{i=1}^{x}\sum_{j\in[1,y]}^{\gcd(i,j)=1}i\cdot j$

枚舉 $\gcd(i,j)$ ，我們可以寫出

$ans=\sum_{d=1}^{\min(n,m)}\frac{d\cdot F\left(\left\lfloor\frac nd\right\rfloor,\left\lfloor\frac md\right\rfloor\right)\cdot d}{d}$

再令

$S(x,y)=\sum_{i=1}^{x}\sum_{j=1}^{y}i\cdot j$

我們此時可以進行莫比烏斯反演（或者叫容斥），得到

$F(x,y)=\sum_{i=1}^{\min(x,y)}i^2\cdot\mu(i)\cdot S\left(\left\lfloor\frac xi\right\rfloor,\left\lfloor\frac yi\right\rfloor\right)$

$\begin{aligned} \Rightarrow ans&=\sum_{d=1}^{\min(n,m)}d\cdot F\left(\left\lfloor\frac nd\right\rfloor,\left\lfloor\frac md\right\rfloor\right)\\ &=\sum_{d=1}^{\min(n,m)}d\sum_{i=1}^{+\infty}i^2\cdot\mu(i)\cdot S\left(\left\lfloor\frac n{id}\right\rfloor,\left\lfloor\frac m{id}\right\rfloor\right) \end{aligned}$

枚舉 $id$ 的值，寫成

$ans=\sum_{D=1}^{+\infty}S\left(\left\lfloor\frac nD\right\rfloor,\left\lfloor\frac mD\right\rfloor\right)\sum_{i|D}i^2\cdot\mu(i)\cdot\frac{D}{i}$

顯然前面可以整除分塊了，要做的就是求出 $\sum_{i|D}D\cdot\mu(i)\cdot i$ 的前綴和。

考慮使用 線性篩。這個函數是個積性函數，因爲，記 $P(n)=\{x|kx=n,k\in\N^+\}$ ，則 $\gcd(n,m)=1\;\Rightarrow\;\{xy|x\in P(n),y\in P(m)\}=P(nm)$

至於 $i\cdot p$ 的值怎麼計算呢，如果 $p|i$ 的話？考慮到 $\mu(i)$ 的存在使得質因數指數不超過 $1$ ，所以貢獻不爲零的約數 $i$ 沒有增加。唯一需要的是 $D$ 變成了原來的 $p$ 倍，相乘即可。

代碼

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
typedef long long int_;
int readint(){
	int a = 0; char c = getchar(), f = 1;
	for(; c<'0'||c>'9'; c=getchar())
		if(c == '-') f = -f;
	for(; '0'<=c&&c<='9'; c=getchar())
		a = (a<<3)+(a<<1)+(c^48);
	return a*f;
}
template < typename T >
void getMin(T&a,const T&b){ if(b<a)a=b; }

const int MaxN = 10000005;
const int zxy = 100000009;

bool isPrime[MaxN];
int f[MaxN], mu[MaxN];
vector< int > primes;
void sievePrime(int n){
	f[1] = mu[1] = 1;
	for(int i=2; i<=n; ++i)
		isPrime[i] = true;
	for(int i=2,len=0; i<=n; ++i){
		if(isPrime[i]){
			primes.push_back(i);
			mu[i] = -1, ++ len;
			f[i] = (i-1ll*i*i)%zxy;
		}
		for(int j=0; j<len; ++j){
			if(primes[j] > n/i) break;
			isPrime[i*primes[j]] = 0;
			if(i%primes[j] == 0){
				mu[i*primes[j]] = 0;
				f[i*primes[j]] = 1ll*
				f[i]*primes[j]%zxy;
				break;
			}
			mu[i*primes[j]] = -mu[i];
			f[i*primes[j]] = 1ll*f[i]
			*f[primes[j]]%zxy;
		}
	}
}

int S(int a,int b){
	a = (1ll*a*(a+1)>>1)%zxy;
	b = (1ll*b*(b+1)>>1)%zxy;
	return 1ll*a*b%zxy;
}

int main(){
	sievePrime(MaxN-5);
	for(int i=2; i<=MaxN-5; ++i)
		f[i] = (f[i]+f[i-1]+zxy)%zxy;
	for(int T=readint(); T; --T){
		int n = readint();
		int m = readint();
		int ans = 0;
		if(n > m) swap(n,m);
		for(int l=1,r; l<=n; l=r+1){
			r = min(n/(n/l),m/(m/l));
			int_ now = f[r]-f[l-1];
			now = (now%zxy+zxy)%zxy;
			now = now*S(n/l,m/l)%zxy;
			ans = (ans+now)%zxy;
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}