【信號與系統學習筆記】—— 採樣與恢復（內插重建方法解析）

一、理想採樣

1.1 理想採樣流程分析

所謂的理想採樣，就是利用間隔爲 $T_s$ 的單位衝激串序列和輸入的連續時間信號相乘。可以用下面的框圖來表示：

其中，$T_s$ 就是我們所說的採樣週期。在時域上，這個框圖用信號波形可以這樣表述：

剛剛我們所表示的這種理想採樣，在頻域上可以這樣畫：

其中，值得注意的是，單位衝激串序列 $\sum_{n = -∞}^{+∞}δ(t - nT_s)$ 的傅里葉變換（參照週期信號的傅里葉變換）是 $P(ω)$，其幅度應該是 $\frac{2π}{T_s}$，我們能看到理想採樣的過程，其實本質上就是原始信號頻譜以 $T_s$ 爲週期做了一個週期延拓。

1.2 如何從理想採樣中恢復原始信號？

其實大家也看到了，通過頻域分析，我們發現理想採樣的過程，其實本質上就是原始信號頻譜以 $T_s$ 爲週期做了一個週期延拓。我們用下面這個更加細緻的圖分析：

上圖是經過理想採樣之後信號的頻譜，我們看到：每一個“三角形” 之間都是有一定的空隙的。而我們知道：中間那個“三角形”（請先允許我用 “三角形” 這樣不夠準確的華語來暫時描述原始信號的頻譜）就是原信號的頻譜。那麼可以想到使用下面這樣的低通濾波器：

但是我們要確保這個理想低通濾波器的介質頻率 $ω_c$ 應該要比 $ω_M$ 大（這樣才能讓原信號的所有頻率成分都順利通過），但是又要小於 $ω_s - ω_M$（也就是說，這個理想低通濾波器不能讓上圖旁邊兩個“三角形” 有能夠通過的餘地）。那麼當經過理想採樣的信號通過這個 filter 的頻譜如下圖所示：

那麼經過濾波器之後得到的信號頻譜就是：

那麼這不就是原信號的頻譜嘛！

1.3 頻譜混疊和奈奎斯特採樣定律

那麼，問題來了：我們所選取的這個單位衝激串序列的間隔有什麼要求呢？$T_s$ 大一點小一點對採樣會造成什麼影響呢？這個問題在時域上不能直觀的表示，我們轉到頻域去分析。

通過剛剛的圖我們也看到，我們加的理想低通濾波器只希望中間的 “三角形” 可以通過，而兩邊的 “三角形” 的任何成分都不希望通過濾波器。

那麼着意味着：成功恢復採樣信號的第一條準則就是：這個被採樣信號一定是帶限的！即頻譜寬度有限
試想一下，如果是一個帶寬無限的信號，那麼無論你用什麼濾波器，旁邊的 “三角形” 一定有成分通過濾波器，這樣必然會造成頻率混疊。如果原信號是一個帶寬無限的信號，那麼對他的採樣就得先讓他經過一個抗混疊濾波器（截取一部分得頻譜）

另外，我們也看到了：上面的 ”三角形” 與 “三角形” 之間都是有一定的間隔的。因此奈奎斯特採樣定理的第二點內容就是：採樣頻率 $f_s$ 必須大於等於兩倍的信號頻率 $f_o$，即：$f_s ≥ 2f_o$
不然會發生下面的情況：

這樣也是無法恢復出原信號的。因此必然摻雜了其他頻率成分在裏面。

總結一下，奈奎斯特採樣定律包括了下面兩條要求：

1. 這個被採樣信號一定是帶限的！即頻譜寬度有限
2. 採樣頻率 $f_s$ 必須大於等於兩倍的信號頻率 $f_o$，即：$f_s ≥ 2f_o$

二、利用內插由樣本重建信號

2.1 理想帶限內插

現在我們開始討論如何從所採集到的樣本中恢復原始信號。第一種就是理想帶限內插。也即是讓採樣所得的信號通過理想低通濾波器（即上圖所述的方法）。下面我們從時域和頻域上看看是怎樣的一個過程：

2.2 零階保持內插

所謂零階保持內插，在時域上所使用的信號就是在 0~$T_s$ 內幅度爲1的門信號。我們來看看時頻效果：

2.3 一階保持內插

一階保持內插在時域上所使用的信號就是一個 “三角形” 形狀的信號，我們來看看：

值得注意的是：在圖像恢復領域，使用零階保持可能會令圖片出現像素化的情況；但是使用一階保持會令圖片更加平滑（但是視覺上會變得模糊）

OK，本次博文暫時就寫這麼多，下一篇將會是一篇短文，介紹一下連續時間信號的離散時間處理。哈哈聽名字是不是覺得很繞口，沒關係！我們下一次好好看看它的真面目！See you !