专题五 大数定律与中心极限定理

专题五 大数定律与中心极限定理

5.1 大数定律

1.大数定律： 一类收敛现象$X_1,X_2,...X_n$为一随机变量的序列，常常有$\frac{1}{n}\cdot\sum\limits_{i = 1}^n X_i， \ n \rightarrow\infty$ 在某种意义下收敛

2.切比雪夫不等式：

$\ P( |X - E(X)| \leq\epsilon)\geq\ {1 - \frac{D(X)}{\epsilon^2}}$

5.2 中心极限定理

1.中心极限的定义：
当n趋于无穷大时，$X_1,X_2,...,X_n$,随机变量的序列之和的分布服从正态分布

2.中心极限定理：

定理一： 独立同分布的中心极限定理
设随机变量$X_1,X_2,..,X_n$相互独立，服从同一分布，且具有数学期望，方差： $E(X_k) = \mu$ $D(X_k) = \sigma^2\ (k = 1,2,..,n)$

当$n\rightarrow\infty$时，$\sum\limits_{i =1}^{n}X_i$ ~ $N(n\mu,n\sigma^2)$

定理二： 二项分布的中心极限定理
设随机变量 $X$ 服从参数 $n$ ,$p \ (0 < p < 1)$ 的二项分布
（1）局部极限定理：

$P(X = k) = C_n^k\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k}$
当 $n \rightarrow\infty$ 时，$P(X = k) \approx$ $\frac{1}{\sqrt{np(1-p)}}\cdot\psi(\frac{k - np}{\sqrt{np(1-p)}})$

（2）拉普拉斯定理：

当 $n \rightarrow\infty$ 时，$P(X\leq x) \approx\phi(\frac{x - np}{\sqrt{np(1-p)}})$