均值和方差的計算（已知兩樣本標準差，求總體標準差）

假設總體 $z_{1}...z_{m+n}$ 數量爲（m+n），其只包含兩個亞組（ $x_{1}...x_{n}$ ， $y_{1}...y_{m}$ ），第一組 $x_{1}...x_{n}$ 的平均值和標準差分別爲 $\bar{x}$ 和 $\sigma_{x}$ ，第二組 $y_{1}...y_{m}$ 的平均值和標準差分別爲 $\bar{y}$ 和 $\sigma_{y}$ ，則總體的平均值 $\bar{z}$ 和標準差 $\sigma_{z}$ 是多少呢？

先給答案：

$\bar{z}=\frac{n\bar{x}+m\bar{y}}{m+n}$ ， $\sigma_{z}=\sqrt{\frac{n\sigma_{x}^{2}+m\sigma_{y}^{2}+\frac{mn(\bar{x}-\bar{y})^{2}}{m+n}}{m+n}}$

平均值推導過程：

$\bar{z}=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}+\sum_{i=1}^{m}y_{i}}{m+n}=\frac{n\bar{x}+m\bar{y}}{m+n}$

標準差推導過程：

$(m+n)\sigma_{z}^{2}=(x_{1}-\bar{z})^{2}+...+(x_{n}-\bar{z})^{2}+(y_{1}-\bar{z})^{2}+...+(y_{m}-\bar{z})^{2}$

$(n)\sigma_{x}^{2}=(x_{1}-\bar{x})^{2}+...+(x_{n}-\bar{x})^{2}$

$(n)\sigma_{y}^{2}=(y_{1}-\bar{y})^{2}+...+(y_{n}-\bar{y})^{2}$

$(m+n)\sigma_{z}^{2}-n\sigma_{x}^{2}-m\sigma_{y}^{2}=\{(x_{1}-\bar{z})^{2}-(x_{1}-\bar{x})^{2}\}+...+\{(x_{n}-\bar{z})^{2}-(x_{n}-\bar{x})^{2}\}+\{(y_{1}-\bar{z})^{2}-(y_{1}-\bar{y})^{2}\}+...+\{(y_{n}-\bar{z})^{2}-(y_{n}-\bar{y})^{2}\}$

$(m+n)\sigma_{z}^{2}-n\sigma_{x}^{2}-m\sigma_{y}^{2}=\{(x_{1}-\bar{z}+x_{1}-\bar{x})(x_{1}-\bar{z}-x_{1}+\bar{x})\}+...+\{(x_{n}-\bar{z}+x_{n}-\bar{x})(x_{n}-\bar{z}-x_{n}+\bar{x})\}+\{(y_{1}-\bar{z}+y_{1}-\bar{y})(y_{1}-\bar{z}-y_{1}+\bar{y})\}+...+\{(y_{n}-\bar{z}+y_{n}-\bar{y})(y_{n}-\bar{z}-y_{n}+\bar{y})\}$

$(m+n)\sigma_{z}^{2}-n\sigma_{x}^{2}-m\sigma_{y}^{2}=\{(2x_{1}-\bar{z}-\bar{x})(\bar{x}-\bar{z})\}+...+\{(2x_{n}-\bar{z}-\bar{x})(\bar{x}-\bar{z})\}+\{(2y_{1}-\bar{z}-\bar{y})(\bar{y}-\bar{z})\}+...+\{(2y_{n}-\bar{z}-\bar{y})(\bar{y}-\bar{z})\}$

$(m+n)\sigma_{z}^{2}-n\sigma_{x}^{2}-m\sigma_{y}^{2}=\sum_{i=1}^{n}\{(2x_{i}-\bar{z}-\bar{x})(\bar{x}-\bar{z})\}+\sum_{i=1}^{m}\{(2y_{i}-\bar{z}-\bar{y})(\bar{y}-\bar{z})\}$

$(m+n)\sigma_{z}^{2}-n\sigma_{x}^{2}-m\sigma_{y}^{2}=(2n\bar{x}-n\bar{z}-n\bar{x})(\bar{x}-\bar{z})+(2m\bar{y}-m\bar{z}-m\bar{y})(\bar{y}-\bar{z})$

$(m+n)\sigma_{z}^{2}-n\sigma_{x}^{2}-m\sigma_{y}^{2}=(n\bar{x}-n\bar{z})(\bar{x}-\bar{z})+(m\bar{y}-m\bar{z})(\bar{y}-\bar{z})$

$(m+n)\sigma_{z}^{2}-n\sigma_{x}^{2}-m\sigma_{y}^{2}=n(\bar{x}-\bar{z})^{^{2}}+m(\bar{y}-\bar{z})^{^{2}}$

$(m+n)\sigma_{z}^{2}-n\sigma_{x}^{2}-m\sigma_{y}^{2}=n(\frac{m\bar{x}+n\bar{x}-n\bar{x}-m\bar{y}}{m+n} )^{^{2}}+m(\frac{m\bar{y}+n\bar{y}-n\bar{x}-m\bar{y}}{m+n})^{^{2}}$

$(m+n)\sigma_{z}^{2}-n\sigma_{x}^{2}-m\sigma_{y}^{2}=n(\frac{m\bar{x}-m\bar{y}}{m+n} )^{^{2}}+m(\frac{n\bar{y}-n\bar{x}}{m+n})^{^{2}}$

$(m+n)\sigma_{z}^{2}-n\sigma_{x}^{2}-m\sigma_{y}^{2}=\frac{m^{^{2}}n\bar{x}^{^{2}}-2m^{^{2}}n\bar{x}\bar{y}+m^{^{2}}n\bar{y}^{^{2}}+mn^{^{2}}\bar{y}^{^{2}}-2mn^{^{2}}\bar{x}\bar{y}+mn^{^{2}}\bar{x}^{^{2}}}{(m+n)^{^{2}} }$

$(m+n)\sigma_{z}^{2}-n\sigma_{x}^{2}-m\sigma_{y}^{2}=\frac{(m+n)mn\bar{x}^{^{2}}-(m+n)*2mn\bar{x}\bar{y}+(m+n)mn\bar{y}^{^{2}}}{(m+n)^{^{2}} }$

$(m+n)\sigma_{z}^{2}-n\sigma_{x}^{2}-m\sigma_{y}^{2}=\frac{mn\bar{x}^{^{2}}-2mn\bar{x}\bar{y}+mn\bar{y}^{^{2}}}{m+n}$

$\sigma_{z}=\sqrt{\frac{n\sigma_{x}^{2}+m\sigma_{y}^{2}+\frac{mn(\bar{x}-\bar{y})^{2}}{m+n}}{m+n}}$

以上爲推導過程，如果問題，歡迎反饋。

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