Part 13 (1) Fourier級數基本概念與應用

1. Fourier級數基本概念

1.1. 概念準備

1.1.1. 三角函數系的正交

$\int_{-\pi}^{\pi}\cos mx\cos nx\,\mathrm dx= \begin{cases} 0, &m\not=n\\ \pi, &m=n\not=0\\ 2\pi, &m = n = 0, \end{cases}\ \ m, n = 0, 1, 2\cdots$
$\int_{-\pi}^\pi\sin nx\sin mx\,\mathrm dx=\begin{cases} 0, &m\not=n\\ \pi, &m = n\\ \end{cases} m, n = 1, 2, \cdots$
$\int_{-\pi}^\pi\sin nx\cos nx\,\mathrm dx=0,\ m=0,1, 2\cdots, n = 0, 1, 2\cdots$
利用和差化積即可。

注意推導中一個常用的想法是：幾倍於$2\pi$週期的三角函數，在$\int_{-\pi}^\pi$上積分爲0.

1.1.2. 一種特殊的函數項級數——三角級數

$\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^\infty\left(a_k\cos kx+b_k\sin kx\right)$

1.1.3. 分段分析性質

• 分段連續：閉區間上除去有限個第一類間斷點外處處連續
• 分段單調：閉區間上只有有限個單調區間
• 分段可導：分段連續，且在這些間斷點上左右廣義導數存在

例 廣義右導數：其中$f(x_0+0)$爲右極限
$\lim\limits_{\Delta x\to0+0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0+0)}{\Delta x}$

分段（一階）光滑：分段連續，導數分段連續，分段可導，那麼分段光滑

分段光滑函數的性質：

1. $f(x)$在$[a,b]$上可積
2. $f'(x)$在$[a,b]$上可積

1.2. Fourier係數

欲求$a_k, b_k$，我們利用三角函數正交性的幾個理論結果，我們對三角級數兩側分別乘$\cos kx, \sin kx$得到
$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos nx\,\mathrm dx, (n=0, 1, 2\cdots)\\ b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin nx\,\mathrm dx, (n=1, 2\cdots)$

1.3. 可以展成Fourier級數的條件

兩種Dirichlet條件：

• 分段連續且分段單調
• 分段光滑

（逐點收斂定理）Dirichlet定理：滿足Dirichlet條件的函數可以展成Fourier級數。
或者說其對應Fourier級數收斂到該點的廣義左右極限的平均值$\displaystyle\frac{f(x-0)+f(x+0)}{2}$

此時，前$n$項和函數爲
$S_n(x)=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x+t)\frac{\sin(\displaystyle n+\frac{1}{2})t}{2\sin\displaystyle\frac{1}{2}t}\,\mathrm dt$
這個積分稱爲Dirichlet積分。

1.4. Fourier級數的性質

（係數的趨勢）設$f(x)$在$[-\pi, \pi]$上可積或絕對可積，則其Fourier係數滿足：
$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0, \lim\limits_{n\to\infty}b_n=0$

（Fourier級數的逐項積分定理）$\forall x, c\in[-\pi, \pi]:$
$\int_c^xf(t)\,\mathrm dt=\int_c^x\frac{a_0}{2}\,\mathrm dt+\sum\limits_{n=1}^\infty\left(a_n\int_c^x\cos nt\,\mathrm dt+b_n\int_c^x\sin nt\,\mathrm dt\right)$
這表明即便是$f(x)$的Fourier級數不收斂，它的逐項積分收斂到$f(x)$的積分，這是Fourier積分的特有性質

1.5. 題型：Fourier級數的展開計算

• Step1：分析函數是否滿足Dirichlet條件
• Step2：計算Fourier係數
• Step3：分間斷點和連續點討論Fourier級數表達式

1.5.1. 常用化簡結構：

$\int_0^\pi x\cos nx\,\mathrm dx=\frac{1}{n^2}\cos nx\Big|_0^\pi=\frac{1}{n^2}\left[(-1)^n-1\right]$
$\int_0^\pi x\sin nx\,\mathrm dx=-\frac{\pi}{n}(-1)^n$

1.5.2. 拓展題型

1.5.2.1. 不以$2\pi$爲週期

在計算的時候，將原問題中的$\displaystyle\frac{1}{\pi}$換成$\displaystyle\frac{2}{T}$或表示成$\displaystyle\frac{1}{l}$

1.5.2.2. 奇偶延拓

區間形如$[0, l]$的任意函數，都可以通過延拓構造出類似周期函數的結構，這樣就可以使用Fourier級數展開。隨後後將定義域縮小即可。
例題：

這個例題綜合了這兩個拓展問題，值得研究