Matlab中的有限域计算

1 有限域基础知识

1.1 有限域（Galois域）的构造

令 p 为一个素数. 则对任意的一个正整数 n ，存在一个特征为 p ，元素个数为 pn 的有限域 GF(pn) .

注：任意一个有限域，其元素的个数一定为 pn ，其中 p 为一个素数（有限域的特征），n 为一个正整数.

例1（有限域 GF(p) ） 令 p 为一个素数，集合

GF(p)=Zp={0,1,2,…,p−1}.

在 GF(p) 上定义加法 ⊕ 和乘法 ⊙ 分别为模 p 加法和模 p 乘法，即任意的 a,b∈GF(p) ，

a⊕b=(a+b)modp, a⊙b=(a⋅b)modp

则 <GF(p),⊕,⊙> 为一个有 p 个元素的有限域，其中零元素为 0 ，单位元为 1 .

令 a 为 GF(p) 中的一个非零元素. 由于 gcd(a,p)=1 ，因此，存在整数 b,c ，使得 ab+pc=1 . 由此得到 a 的逆元为 a−1=bmodp .

域 GF(p) 称为一个素域(prime field).

例注1： 给定 a 和 p ，例1中的等式 ab+pc=1 可以通过扩展的欧几里得除法得到，从而求得 GF(p) 中任意非零元素的逆元.

例2（有限域 GF(pn) ） 从 GF(p) 出发，对任意正整数 n ，n≥2 ，我们可以构造元素元素个数为 pn 的有限域 GF(pn) 如下：
令 g(x) 为一个 GF(p) 上次数为 n 的不可约多项式，集合

GF(pn)=GF(p)[x]/⟨g(x)⟩={a0+a1x+a2x2+⋯+an−1xn−1 | ai∈GF(p),0≤i≤n−1}

在 GF(pn) 上定义加法 ⊕ 和乘法 ⊙ 分别为模 g(x) 加法和模 g(x) 乘法，即任意的 a(x),b(x)∈GF(pn) ，

a(x)⊕b(x)=a(x)+b(x), a(x)⊙b(x)=(a(x)⋅b(x))modg(x)

则 <GF(pn),⊕,⊙> 为一个有 pn 个元素，特征为 p 的有限域，其中零元素为 GF(p) 中的 0 ，单位元为 GF(p) 中的 1 .

令 a(x) 为 GF(pn) 中的一个非零元素. 由于 gcd(a(x),g(x))=1 ，因此，存在 GF(p) 上的多项式 b(x),c(x) ，使得 a(x)b(x)+g(x)c(x)=1 . 由此得到 a(x) 的逆元为 a−1(x)=b(x)modg(x) .

域 GF(pn) 称为 GF(p) 的（n 次）扩域(extension field)，而 GF(p) 称为 GF(pn) 的子域(subfield).

例注2.1： 给定 GF(p) 上的多项式 a(x) 和 g(x) ，例2中的等式 a(x)b(x)+g(x)c(x)=1 可以通过扩展的欧几里得除法得到，从而求得 GF(pn) 中任意非零元素的逆元.

例注2.2：设 GF(q) 是一个含有 q 个元素的有限域. 对任意正整数 n , GF(q) 上的 n 次不可约多项式一定存在. 更进一步，GF(q) 上首项系数为 1 的 n 次不可约多项式的个数为

Nq(n)=1n∑d|nμ(nd)qd=1n∑d|nμ(d)qn/d

其中 μ 为Moebius函数，定义为

μ(m)=⎧⎩⎨1(−1)k0如果m=1如果m=p1p2⋯pk,其中p1,p2,…,pk为互不相同的素数其它

1.2 有限域的性质

令 GF(q) 是一个含有 q 个元素的有限域，F∗q=GF(q)∖{0} 为有限域 GF(q) 中所有非零元素构成的集合. 则在乘法之下 F∗q 是一个有限循环群. 循环群 F∗q 的一个生成元称为有限域 GF(q) 的一个本原元.

若 α∈GF(q) 为一个本原元，则

GF(q)={0,1,α,α2,…,αq−2}

并且 αq−1=1 ，即 αq=α .

定义：设 GF(q) 是一个含有 q 个元素的有限域，GF(p) 是 GF(q) 的一个含有 p 个元素的子域（p 不一定为素数），α∈GF(q) . 则 GF(p) 上以 α 为根，首项系数为 1 ，并且次数最低的多项式称为 α 在 GF(p) 上的极小多项式(minimal polynomial of α over GF(p) ).

特别地，若 α∈GF(q) 为 GF(q) 的一个本原元，则 α 在 GF(p) 上的极小多项式称为 GF(p) 上的一个本原多项式(primitive polynomial for GF(q) over GF(p) ).

定义注1：对任意的 α∈GF(q) ， α 在 GF(p) 上的极小多项式存在并且唯一，并且 α 在 GF(p) 上的极小多项式为 GF(p) 上的一个不可约多项式.

定义注2：设 α∈GF(q) ， 则 α 和 αp 在 GF(p) 上具有相同的极小多项式. 更进一步，集合

B(α)={α,αp,αp2,αp3,…,αpi,…}

中的元素具有相同的极小多项式. 设 q=pn ，则 αpn=α . 因此，集合 B(α) 中互不相同的元素的个数（记为 r ）不超过 n . 可以证明，α 为 GF(q) 的一个本原元当且仅当 r=n .

定理：设 GF(q) 是一个含有 q 个元素的有限域，GF(p) 是 GF(q) 的一个含有 p 个元素的子域. 设 α∈GF(q) ，r 为满足 αpr=α 的最小正整数. 则 α 在 GF(p) 上的极小多项式 g(x) 是一个 r 次不可约多项式，并且

B(α)={α,αp,αp2,…,αpr−1}

中的元素为 g(x) 在 GF(q) 上的所有不同的根，即

g(x)=(x−α)(x−αp)(x−αp2)⋯(x−αpr−1).

注：r 的计算方法如下：设 α 在 F∗q 中的阶为 k . 集合

Z∗k={m | 0≤m≤k−1,gcd(m,k)=1}

在模 k 乘法运算下是一个含有 φ(k) 个元素的有限群（其中 φ 为欧拉(Euler)函数）. 则 r 等于 pmodk 在 Z∗k 中的阶.

推论：设 GF(q) 是一个含有 q 个元素的有限域，GF(p) 是 GF(q) 的一个含有 p 个元素的子域. 设 |GF(q)|=pn ，即 q=pn . 设 α∈GF(q) 为 GF(q) 的一个本原元，则 α 在 GF(p) 上的极小多项式 g(x) 的次数为 n ，并且

g(x)=(x−α)(x−αp)(x−αp2)⋯(x−αpn−1).

更进一步，α,αp,αp2,…,αpn−1 均为 GF(q) 的本原元.

注：设 GF(p) 是一个含有 p 个元素的有限域，n 是任意一个正整数，则 GF(p) 上的 n 次本原多项式一定存在. 更进一步，GF(p) 上的首项系数为 1 的 n 次本原多项式的个数为 φ(pn−1)n ，其中 φ 为欧拉函数.

例3 考虑二元域 GF(2) 上的不可约多项式 p(α)=α3+α+1 ，构造有限域

GF(23)=GF(2)[α]/⟨p(α)⟩={0,1,α,α+1,α2,α2+1,α2+α,α2+α+1}.

容易验证，α,α2,α3,α4,α5,α6 都是 GF(23) 的本原元. GF(2) 上的首项系数为 1 的 3 次本原多项式有两个，分别为
(i) α,α2,α4 在 GF(2) 上的极小多项式

g(x)=(x+α)(x+α2)(x+α4)=x3+x+1

(ii) α3,α5,α6 在 GF(2) 上的极小多项式

g(x)=x3+x2+1

有限域 GF(p) 上的本原多项式一定是 GF(p) 上的不可约多项式；但是，GF(p) 上的不可约多项式不一定是 GF(p) 上的本原多项式.

定理：设 GF(q) 是一个含有 q 个元素的有限域，GF(p) 是 GF(q) 的一个含有 p 个元素的子域， g(x) 是 GF(p) 上的一个不可约多项式. 则 g(x) 为 GF(p) 上的本原多项式当且仅当 g(x) 在 GF(q) 上的根都是 GF(q) 的本原元.

下面例子说明不可约多项式不一定是本原多项式.

例4 考虑二元域 GF(2) 上的不可约多项式 p(x)=x4+x3+x2+x+1 ，构造有限域

GF(24)=GF(2)[x]/⟨p(x)⟩={a+bx+cx2+dx3 | a,b,c,d∈GF(2)}.

显然，x∈GF(24) . 由于 x5=1 ，即 x 的阶为 5 ，因此，x 不是 GF(24) 的本原元. 于是， p(x) 不是 GF(2) 上的本原多项式. 另外，可以验证 x+1 是 GF(24) 的本原元.

2 Matlab 中的有限域计算函数

Matlab 中自带的有限域的计算是在 GF(2m) 上进行的，即在二元域 GF(2) 的扩域中进行计算，其中 1≤m≤16.

由 “1.1 有限域的构造” 的 “例2” 可知，我们只需先找到一个 GF(2) 上的 m 次不可约多项式 g(x) ，得到集合 GF(2)[x]/⟨g(x)⟩ ，然后定义其上的加法和乘法分别为模 g(x) 加法和模 g(x) 乘法，即得到有限域 GF(2m) .

然而，这样得到的有限域 GF(2m) 中，元素 x 未必是本原元，这将给后面的（乘法）运算带来很多麻烦. 因此，在不可约多项式 g(x) 的挑选上，我们最好选择一个本原多项式. 这其实就是 Matlab 中的做法.

Matlab 中 GF(2m) 的元素： 在 Matlab 中 GF(2m):=GF(2)[D]/⟨p(D)⟩ ，其中 p(D) 为一个 GF(2) 上的 m 次本原多项式.

GF(2m)={am−1Dm−1+am−2Dm−2+⋯+a1D+a0, | ai∈GF(2),0≤i≤m−1}

因此，每个 GF(2m) 中的元素本质上是一个次数小于 m 的多项式，每个元素和多项式之间有“1-1”对应关系. 例如，取 m=3 和本原多项式 p(D)=D3+D+1 ，则我们得到有限域 GF(23) ，其中的元素和多项式之间的对应关系如下：

GF(23)	GF(2)[D]/⟨p(D)⟩	二进制
0	0	000
1	1	001
2	D	010
3	D+1	011
4	D2	100
5	D2+1	101
6	D2+D	110
7	D2+D+1	111

GF(2) 上的多项式由系数组成的二进制所对应的（十进制）数字来表示. 例如，多项式 p(D)=D3+D+1 的系数组成的二进制为 1011 ，因此，多项式 p(D) 表示为数字 11 .

2.1 定义有限域数组

在 Matlab 中，函数 gf 用来定义一个有限域数组，函数申明如下：

X_GF = GF(X,M,PRIM_POLY)

函数创建有限域 GF(2M) 上的一个数组，使用的 GF(2) 上的 M 次本原多项式为 PRIM_POLY； M 是一个 1 至 16 之间的整数；数组 X 中的元素为 0 至 2M−1 之间的数.

例如，生成有限域 GF(23) 中的所有元素，并令本原多项式为 p(D)=D3+D2+1 .

>> GF8 = gf(0:7,3,13)

GF8 = GF(2^3) array. Primitive polynomial = D^3+D^2+1 (13 decimal)

Array elements = 

   0   1   2   3   4   5   6   7

如果不指定本原多项式，则 Matlab 将使用默认本原多项式. 例如

>> gf(0:7,3)

ans = GF(2^3) array. Primitive polynomial = D^3+D+1 (11 decimal)

Array elements = 

   0   1   2   3   4   5   6   7

在这里例子中，Matlab 使用了 3 次本原多项式 D3+D+1 .

如果不指定次数 M 和本原多项式 PRIM_POLY，则生成二元域 GF(2) 中的元素.

>> gf(0:1)

ans = GF(2) array. 

Array elements = 

   0   1

生成的有限域中的数组可以参与运算（+、、.、.^、\等). 注意：参与运算的操作数必须来自同一个有限域，用于生成有限域的本原多项式也必须相同！

一个典型的例子是计算有限域的乘法表如下：

>> GF8 = gf(0:7,3)

GF8 = GF(2^3) array. Primitive polynomial = D^3+D+1 (11 decimal)

Array elements = 

   0   1   2   3   4   5   6   7

>> GF8'*GF8

ans = GF(2^3) array. Primitive polynomial = D^3+D+1 (11 decimal)

Array elements = 

   0   0   0   0   0   0   0   0
   0   1   2   3   4   5   6   7
   0   2   4   6   3   1   7   5
   0   3   6   5   7   4   1   2
   0   4   3   7   6   2   5   1
   0   5   1   4   2   7   3   6
   0   6   7   1   5   3   2   4
   0   7   5   2   1   6   4   3

>> GF8 = gf(0:7,3,13)

GF8 = GF(2^3) array. Primitive polynomial = D^3+D^2+1 (13 decimal)

Array elements = 

   0   1   2   3   4   5   6   7

>> GF8'*GF8
Warning: Lookup tables not defined for this order 2^3 and
primitive polynomial 13.  Arithmetic still works
correctly but multiplication, exponentiation, and
inversion of elements is faster with lookup tables.
Use gftable to create and save the lookup tables. 
> In gf.gettables at 35
  In gf.mtimes at 20

ans = GF(2^3) array. Primitive polynomial = D^3+D^2+1 (13 decimal)

Array elements = 

   0   0   0   0   0   0   0   0
   0   1   2   3   4   5   6   7
   0   2   4   6   5   7   1   3
   0   3   6   5   1   2   7   4
   0   4   5   1   7   3   2   6
   0   5   7   2   3   6   4   1
   0   6   1   7   2   4   3   5
   0   7   3   4   6   1   5   2

在这里我们用两个不同的本原多项式构造有限域 GF(23) ，得到两张不同的乘法表.

注1：当我们计算 GF(2)[D]/⟨D3+D2+1⟩ 的乘法表时，Matlab 给产生一个警告 “Warning: Lookup tables not defined for this order 2^3 and primitive polynomial 13.” 从警告中我们可以看出，Matlab 中有限域的乘法是通过查表来完成的，这样可以显著地提高计算的速度. 我们可以通过命令 gftable 来创建并保存查找表格.
注2：用本原多项式 D3+D+1 和 D3+D2+1 生成两个不同的元素个数为 8 的有限域，然而这两个有限域是同构的. 一般地，我们有如下有限域同构定理：

定理： 任意两个元素个数相同的有限域一定同构.

与本原元多项式相关的函数

primpoly

函数 primpoly 用于计算 GF(2) 上的本原多项式，函数申明如下：

PR = PRIMPOLY(M, OPT, 'nodisplay')

其中 M 为本原多项式的次数，其取值为 2 至 16 之间的整数；选项 OPT 的定义如下：

OPT = 'min'  给出一个权值最小的本原多项式
OPT = 'max'  给出一个权值最大的本原多项式
OPT = 'all'  给出所有的本原多项式
OPT = L      给出所有权值为L的本原多项式

字符串 ‘nodisplay’ 用于关闭默认的本原多项式显示方式.

例如，输出 GF(2) 上所有次数为 3 的本原多项式.

>> primpoly(3,'all')

Primitive polynomial(s) = 

D^3+D^1+1
D^3+D^2+1

ans =

11
13

>> primpoly(3,'all','nodisplay')

ans =

11
13

isprimitive

函数 isprimitive 用来检查 GF(2) 上的多项式是否为本原多项式，函数申明如下：

CK = ISPRIMITIVE(A)

其中 A 为一个表示多项式的数字，并且表示的多项式的次数不能超过 16 . 如果 A 为本原多项式，则返回 1 ；否则返回 0 .

例如，检查多项式 D3+D2+1 和 D3+D2+D+1 是否为本原多项式如下：

>> isprimitive(13)

ans =

 1

>> isprimitive(15)

ans =

 0

其它函数

见 Matlab 帮助.