排列的生成(三) —— 鄰位互換法

1. 定義

是由Johnson-Trotter首先提出。如果已知n-1個元素的排列，將n插入到排列的不同位置，就得到了n個元素的排列。也可以直覺地認爲，只要把排列中任意相鄰的兩個元素交換位置，就可以得到一個新的排列。

2. 算法

以$1^\gets2^\gets3^\gets 4^\gets$爲初始排列，剪頭所指一側，相鄰的數若比它小時，則稱該數處在活動狀態，$1^\gets2^\gets3^\gets 4^\gets$的2,3,4都處於活動狀態。
$p_1p_2\dots p_n$生成下一個排列的步驟：

• S1: 若$p_1p_2\dots p_n$沒有數處於活動狀態則結束。
• S2: 將處於活動狀態的各數中值最大者設爲$m$，則$m$和它的剪頭所指一側相鄰的數互換位置，而且比$m$大的所有數的剪頭改變方向，即$\to$改爲$\gets$，$\gets$改爲$\to$，轉S1。

2.1 求排列1234的下一個排列

2.2 求排列12345生成的第100個排列數是多少

通過2.1可以看出每個數字經過多少次排列向左或向右(初始移動是向左)移動一位，如下表

數字	2	3	4	5
次數	60(3 ×4×5)	20(4×5)	5(1×5)	1

所以這100次排列當中，

• 5排列了100次
• 4排列了20次
• 3排列了5次
• 2排列了2次。

因爲總共有5位數，所以5每經過10次排列後會回到起點，4每經過8次排列後會回到起點，3經過6次排列後會回到起點，2不會回到起點，2最多隻能排列2次。因此
（1）100/10=10，餘數爲0，說明此時5在第5位。（考慮全部數字）—— _ _ _ _ 5
（2）20/8=2，餘數爲4，說明此時4在第1位。（不考慮數字5）—— 4 _ _ _ 5
（3）5/6=0，餘數爲5，說明此時3在第2位。（不考慮數字4,5）—— 4 _ 3 _ 5
（4）2排列了2次，此時的對應的兩位數是21。（不考慮數字3,4,5）—— 4 2 3 1 5
因此排列12345生成的第100個排列數是42315。

2.3 求 23541是排列12345生成的第幾個排列

12345生成的排列總共有$5!=120$個。
通過2.2分析知道
（1）不考慮345，序列21表明了2排列了2次（移動了1次）
（2）不考慮45，序列231表明3排列了5次（移動了4次）
（3）不考慮5，序列2341表明4排列了18次（移動了17次）
此時，根據2.2的表就可以猜了，5排列了至少$\max \{1\times 60+1,4\times20+1,17\times 5+1\}=\max\{61,81,86\}=86$次剛好滿足上述要求，最後一個要求是要滿足5的位置，5處於第3位，86/10=6餘數是1，說明這是5還在第1位，增加1次排列即可讓5在第3位而又可以滿足(1)(2)(3)條件，此時可知88即爲最終所求。