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本系列文章使用的教材爲《矩陣論》（第二版），楊明，劉先忠編，華中科技大學出版社。
準備知識
在正式學習線性空間之前，我們先來複習一下向量空間和數域的概念。
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向量空間：設V爲n維向量的集合，V不爲空集，V對加法和數乘封閉，則稱V爲向量空間。
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數 域：設F是包含0和1的數集，若F對和，差，積，商(分母不爲零)封閉，則稱F爲一個數域。
也就是說對於任意屬於F中的x,y，x與y的四則運算結果都仍然屬於這個數域中的元素。
舉例：有理數Q，實數R均爲數域。在本書中，無特別說明，F均指實數域，或複數域。
一 線性空間的概念
從這個定義中我們總結一下:
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V是一個非空集合，且集合中的元素來自數域F；（這裏就要警醒對數域的理解了）
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兩種運算：加法和數乘（注意封閉性）
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滿足八條法則
我們可以簡單記爲（V,F,+,.）
舉個例子：
分析：
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在實數域（或複數域），按照通常的向量加法和數乘，也就是對應元素相加，每個元素乘上一個數(注意是數乘)，其結果仍然屬於集合中元素所在數域，可以證明也滿足八條法則，因此Fn是F上的線性空間。
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但是如果把數域縮小爲整數域，也就是說集合中的所有元素均是整數，我們可以知道，整數與整數相除結果並不一定爲整數，也就是說集合V對數乘不封閉，因此整數域不是線性空間。定義中要求線性空間對加法和數乘都要封閉。
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在這裏我們可以知道，對於一個集合，a.只有在確定的數域上才能討論它是不是線性空間；b.對於同一個集合，在不同上討論數域，結論並不一定相同。
從教材上所舉的另外兩個例子：
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非空集合在矩陣的加法和數乘下構成數域F上的線性空間，稱爲矩陣空間。
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非空集合在矩陣的加法和數乘多項式運算下構成數域F上的線性空間，稱爲多項式空間。
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另外還有函數空間。
難點：
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線性空間中的加法和數乘已經不再侷限於數的加法和乘法的概念中了。也就是說，1+1等於幾是由你自己定義的，只要你所定義的滿足八條運算法則。
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正是由於第一點，對於零元，單位元，負元也是要根據八條法則確定。比如零元並不一定就是0.我們可以根據線性空間的性質得出。
線性空間的性質
基於以上性質，我們對與零元，單位元，負元應分別做以下理解：
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零元：零元加上任何一個元素仍爲任何元素。其實迴歸到最初我們學的數學，數零就是這麼定義的。想一想幼兒園老師是怎麼教的呢：零就是沒有，沒有加上一顆糖還是一顆糖！只不過那個時候的加法性質和這裏的加法並不是一樣的，所以在這裏必須按照定義的加法性質去去求零元。
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單位元：單位元乘以任何一個元素仍爲任何元素。
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負元：-1數乘元素。
舉個例子：
